Termofysiikan perusteet, Ismo Napari ja Hanna Vehkamäki, 2013.

4.9. ENTROPIAN DIFFERENTIAALI JA ERÄITÄ SOVELLUKSIA (5.12, 3.1,3.5) 55saadaan( ) ∂U= T∂V T,N( ) [ ( )]∂P∂ P− P = T 2 . (4.55)∂T V,N∂T T V,NYhtälö (4.55) on Helmholtzin yhtälö, ja se lausuu sisäisen energian riippuvuudentilavuudesta isotermisissä muutoksissa paineen lämpötilariippuvuudenavulla, joka voidaan määrittää, jos tilanyhtälö tunnetaan. Helmholtzin yhtälötunnetaan myös nimillä ensimmäinen energiayhtälö ja termodynaaminen tilanyhtälö.Ideaalikaasulle (∂U/∂V) T,N = 0, kuten helposti yhtälöstä (4.55) todetaan(vrt. yhtälö (1.9)).4.9.2 Ideaalikaasun entropiaIsokoorisen lämpökapasiteetin C V = (∂U/∂T) V avulla entropian differentiaali(4.54) saadaan muotoondS = 1 T C VdT+ 1 [( ) ] ∂U+ P dV. (4.56)T ∂V TIdeaalikaasun tapauksessa U ei riipu tilavuudesta ja P = k B NT/V, jotenIntegroimalla saadaandS = 1 T C VdT+ 1 Tk B NTVdV = 1 T C VdT+ k BNVdV.S = S 0 + C V ln T T 0+ k B N ln V V 0.Tässä S 0 , V 0 ja T 0 viittaavat johonkin referenssitilaan. Ekstensiivisinä suureinaS 0 ja V 0 voidaan antaa vastaavien tiheyssuureiden avulla muodossa S 0 = s 0 Nja V 0 = v 0 N. Kun vielä lämpökapasiteetti lausutaan yhtälön (3.29) mukaisestimuodossa C V = k B N f /2 (ideaalikaasulle U = k B TN f /2), saadaan ideaalikaasunentropiaksi[ ( ) ]Tf /2VS = s 0 N+k B N ln. (4.57)T 0 v 0 NSuureet s 0 , v 0 ja T 0 ovat mikroskooppisia ainevakioita, joiden laskemiseksi tarvitaantilastollisen mekaniikan menetelmiä.4.9.3 LämpökapasiteettiyhtälötTermodynaamiset vasteet eli responssit kertovat kuinka jonkin systeemiä kuvaavantilamuuttujan A muutos vaikuttaa systeemin ominaisuuteen X, kunmuut riippumattomat tilamuuttujat B, C, . . . pysyvät vakioina. Termodynaamisetvasteet ovat usein mitattavia suureita.Olemme jo tutustuneet eräisiin termodynaamisiin vasteisiin, lämpökapasiteetteihinkappaleessa 3.4. Lämpökapasiteetit määriteltiin lausekkeiksi