Termofysiikan perusteet, Ismo Napari ja Hanna Vehkamäki, 2013.

4.9. ENTROPIAN DIFFERENTIAALI JA ERÄITÄ SOVELLUKSIA (5.12, 3.1,3.5) 57Helmholtzin yhtälöstä ja differentiaalista (4.56) saadaandS = 1 T C VdT+ 1 [( ) ] ∂U+ P dV (4.62)T ∂V T= 1 T C VdT+ 1 [ ( ) ]∂PT − P+ P dV (4.63)T ∂T V= 1 ( ) ∂PT C VdT+ dV (4.64)∂T V(katso myös yhtälö (5.5)), josta seuraa( ) ∂S=∂VT( ) ∂P. (4.65)∂T VKun yhtälö (4.61) kerrotaan lämpötilalla ja käytetään tulosta (4.65), saadaan( ) ( ) ( ) ( )∂S ∂S ∂P ∂VT = T + T, (4.66)∂T P ∂T V ∂T V ∂T Pmissä C P ja C V ovat identifioitavissa yhtälöiden (4.60) ja (4.58) mukaisesti.Aputulos (A.5) (katso liite A) antaa osittaisderivaattojen välille relaation( ) ( ) ( )∂P ∂T ∂V= −1.∂T ∂V ∂PSijoittamalla tästä(∂P/∂T) V yhtälöön (4.66) saadaanVC P = C V − TMääritellään tilavuuden lämpölaajenemiskerroinα P ≡ 1 ( ) ∂VV ∂Tja isoterminen kokoonpuristuvuusκ T ≡ − 1 VNäiden avulla yhtälö (4.67) tulee muotoonPT[( ) ] ∂V 2/ ( ) ∂V. (4.67)∂T P ∂P TP(4.68)( ) ∂V. (4.69)∂P T,NC P − C V = TV α2 Pκ T. (4.70)Koska lämpölaajenemiskerroin ja isoterminen kokoonpuristuvuus ovat positiivisialukuja, on C P > C V aina. Laskemalla α P ja κ T ideaalikaasulle helpostitodetaan, että C P,id − C V,id = k B N.