Termofysiikan perusteet, Ismo Napari ja Hanna Vehkamäki, 2013.

16 LUKU 3. TERMODYNAMIIKAN ENSIMMÄINEN PÄÄSÄÄNTÖSamalla tavalla voidaan lausua kokonaisdifferentiaalit dP(T, V) jadT(P, V).LausekettaAdx+ Bdy+Cdz+... (3.9)sanotaan Pfaffin differentiaalimuodoksi. Kertoimet A(x, y, z, ...), B(x, y, z, ...) jne.ovat muuttujien x, y, z, ... analyyttisiä funktioita. Lauseke (3.9) ei välttämättäole minkään funktion kokonaisdifferentiaali. Jos Pfaffin differentiaalimuoto onjonkin funktion F kokonaisdifferentiaali, kirjoitetaandF = Adx+ Bdy+Cdz+... (3.10)ja sanotaan, että dF on eksakti differentiaali. Muussa tapauksessa differentiaalion epäeksakti ja merkitäänd¯F = Adx+ Bdy+Cdz+... (3.11)Koska differentiaali on eksakti? Asian selvittämiseksi tarkastellaan kahdenmuuttujan tapausta. Verrataan muotoja( ) ( )∂F ∂FdF = dx+ dy∂x y ∂yxjad¯F = Adx+Bdy,joista edellinen muoto on kokonaisdifferentiaali ja siis eksakti. Jotta jälkimmäinenmuoto olisi myös eksakti on ainakin oltava voimassa( ) ( )∂F∂FA = ja B =∂x∂yLisäksi derivaatan arvo ei saa riippua derivointijärjestyksestä, ts.y.x∂ ∂F∂y ∂x = ∂2 F∂y∂x = ∂2 F∂x∂y = ∂ ∂F∂x ∂y .Differentiaali on siten eksakti, kun voimassa on ns. resiprookkisuusehto∂A(x, y)∂yJos muuttujia on kolme, on eksaktille differentiaalillevoimassa yhtäaikaiset ehdot∂A∂y = ∂B∂x=∂B(x, y). (3.12)∂xdF = Adx+ Bdy+Cdz (3.13);∂A∂z = ∂C∂x;∂B∂z = ∂C∂y . (3.14)