Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

10 Z. ABDELALI
donc
Attention 1.1. La suite (ln(n + 1))n, est une suite qui vérifie pour chaque entier p fixe
n + p + 1
|un+p − un| = | ln(
n + 1 )|
lim
n→∞ |un+p − un| = 0
Mais (ln(n + 1))n n’est pas une suite de Cauchy car par exemple on a pour tout n ∈ N
|u2n+1 − un| = ln(2) → 0.
Proposition 1.3. Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite convergente vers une limite l, alors on a :
par suite
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, |un − l| < ε
∀n ≥ N, ∀m ≥ N, |un − um| ≤ |un − l| + |l − um| < 2ε.
Proposition 1.4. Toute suite de Cauchy est bornée.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy. Pour ε = 1, il existe un entier N
tel que pour tout n ≥ N, |un − uN| < 1 ainsi |un| ≤ 1 + |uN|. D’où pour tout n ∈ N on a
|un| ≤ M, où M = max{|u0|, |u1|, ..., |uN−1|, |uN| + 1}.
Théorème 1.2. Toute suite de Cauchy est convergente.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy. Donc elle est bornée, d’après le
théorème de Bolzano-Weierstrass il existe une sous suite extraite (uσ(n))n∈N qui converge vers
une limite l. Montrons que (un)n∈N converge vers l. Soit ε > 0, alors il existe un entier N1 tel
que
il existe aussi un entier N2 tel que
∀n ≥ N1, |uσ(n) − l| < ε
∀n, m ≥ N2, |un − um| < ε
Posons N = max{N1, N2}, pour tout n ≥ N on a :
|un − l| ≤ |un − uσ(N)| + |uσ(N) − l| < 2ε.
On dit alors que R est un espace complet.