Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

• si h1 = 0 ou h2 = 0, alors
ainsi dhϕ(0, 0) = 0,
• si h1 = 0 et h2 = 0, alors
d’où dhϕ(0, 0) = 0.
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
ϕ((0, 0) + t(h1, h2)) − ϕ((0, 0))
t
ϕ((0, 0) + t(h1, h2)) − ϕ((0, 0))
t
= 0
= t h1h 2 2
h 2 1 + t 2 h 4 2
• Maintenant si ϕ est différentiable en (0, 0), alors pour tout vecteur non nul h ∈ R 2 ,
dϕ(0, 0) · h = dhϕ(0, 0) = 0 =⇒ dϕ(0, 0) = 0.
Or l’application f : R −→ R 2 , t ↦→ (t 2 , t) est différentiable en 0 et f(0) = (0, 0), par suite ϕ ◦ f
sera différentiable en 0 et
1
2 = ϕ(t2 ,t)−ϕ(0,0)
t
= d(ϕ ◦ f)(0)
= dϕ(0, 0) ◦ df(0) = 0
ce qui est absurde. Donc ϕ n’est pas différentiable en (0, 0).
2.2. Dérivées partielles. Soient n et p deux entiers non nuls, U un ouvert de R n et
f : U −→ R p une application. Soit {e1, · · · , en} la base canonique de R n . Si la dérivée de f
en un point x de U suivant le vecteur ei existe, alors elle sera appeller la i-ème dérivée partielle
(ou la dérivée partielle par rapport à xi) de f en x et elle sera notée
Donc ∂
∂xi f(x1, · · · , xi, · · · , xn) est égale à
∂
f(x) ou Dif(x) .
∂xi
f(x1, · · · , xi + t, · · · , xn) − f(x1, · · · , xi, · · · , xn)
lim
t→0
t
Proposition 6.3. On a si f est différentiable en un point x ∈ U, alors toutes les
dérivées partielles existent et
Démonstration.
df(x) · (h1, · · · , hn) = ∂
f(x) · h1 + · · · +
∂x1
∂
f(x) · hn .
∂xn
df(x) · (h1, · · · , hn) = df(x) · ( n
hiei)
i=1
= n
hi · df(x) · ei
i=1
= n
i=1
hi · ∂ f(x) .
∂xi
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