Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

26 Z. ABDELALI
Démonstration. Il existe un réel M > 0 tel que pour tout n ∈ N, un ≤ Mvn. La série
Mvn est convergente, donc
un converge.
n
n
Corollaire 2.2. Soient
un et
n
vn deux séries à termes positifs, supposons de
n
plus que un ∼ vn lorsque n tend vers ∞. Alors les séries
un et
vn sont de
même nature.
Démonstration. Il suffit de remarquer que un = O(vn) et vn = O(un).
4.1. Règle de Riemann.
4. Règles de convergence.
Proposition 2.7. Soit α ∈ R, la série de Riemann ∞
seulement si α > 1.
Démonstration. Cas α = 1, (voir aussi Attention 2.1, 2)) on a
donc la série ∞
n=1
1
n diverge.
1
n
Cas α = 1, pour tout entier n ≥ 2 on a :
Remarquons que
d’où
Or on a
1 1
− =
(n − 1) α−1 nα−1 n=1
1
∼ ln(1 + ) = ln(n + 1) − ln(n)
n
1
(n − 1) α−1
1 α−1 1
1 − ∼ 1 − (α − 1)
n
n ,
n
1 α−1 1 − 1 − .
n
1
(n−1) α−1 − 1
nα−1 1
∼ (α − 1) (n−1) α−1n ∼ α−1
n α .
n 1 1
1
( − ) = 1 −
(k − 1) α−1 kα−1 k=2
n α−1
n
1
nα est convergente si, et