Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

66 Z. ABDELALI
Remarque 4.4. 1)
fn converge normalement sur A si, et seulement si, il existe une série
n
convergente
λn telle que pour tout x ∈ A et pour tout n ∈ N, |fn(x)| ≤ λn.
n
2) On a la comparaison suivante :
Convergence normale =⇒ Convergence uniforme
⇓ ⇓
Convergence absolue =⇒ Convergence simple
Les autres implications ne sont pas vraies en général.
Exemples 4.3. Soit pour n ∈ N ∗ , fn l’application définie sur [0, 1] par :
⎧
⎨
fn(x) =
⎩
1 si x ∈] n 1 1 , n+1 n ]
0 si x ∈ [0, 1
n+1
1 ]∩] , 1] n
Considérons la série ∞
fn. On a pour tout x ∈]0, 1], il existe un entier unique n ∈ N∗ , tel
n=1
que fn(x) = 0 et la somme de la série est nulle en zéro. D’où pour tout (n, p) ∈ N ∗2 ,
|fn+1(x) + fn+2(x) + · · · + fn+p(x)| = max
n+1≤k≤n+p |fk(x)|
≤ 1
n+1 .
Ainsi la série ∞
fn vérifie le critère de Cauchy unifirme, par suite elle converge uni-
n=1
formément sur [0, 1]. De plus la série est formée par des fonctions positives donc elle est
aussi absolument covergente.
Mais, on a pour tout n ∈ N∗ , sup |fn(x)| =
x∈[0,1]
1 . Donc la série
n
∞
sup |fn(x)|
x∈[0,1]
n=1
diverge. Ainsi la série ne converge pas normalement.
Exercices 4.1. Considérons la fonction
ζ : R −→ R; x ↦→
∞
n=1
1
.
nx 1) Donner le domaine de définition D(ζ) de ζ.
2) i) Montrer que ∞ 1
nx converge uniformément sur tout intervalle [a, ∞[, où a > 1.
n=1
ii) En déduire que ζ est continue sur ]1, ∞[.
iii) En déduire la limite lim
x→∞ ζ(x).
3) Montrer que ζ est dérivable sur ]1, ∞[ (ind. considérer les intervalle ]a, b[ avec 1 < a < b).