Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
4) Si A et B sont deux parties de E, on définie d(A, B) = inf{d(x, y)/ (x, y) ∈ A × B}.
i. Vérifier que d(A, B) = inf{d(x, B)/ x ∈ A} = inf{d(y, A)/ y ∈ B}.
ii. Supposons que A ∩ B = ∅, A est compact et B est fermé. Montrer que d(A, B) > 0.
5) Soient dans IR 2 , A = {(x, y) ∈ IR 2 : xy = 1} et B = IR 2 × {0}.
i. Vérifier que A et B sont deux fermés disjoints.
ii. Vérifier que d(A, B) = 0.
Exercice 2. Soit dans C la sphère unité dans (IR 2 , ·2). Soit f : C −→ IR une application
continue.
1) Montrer que l’image de f est un intervalle fermé.
2) Montrer que f ne peut pas être bijective (ind. utiliser les propriété des ensembles
connexes par arcs).
Exercice 5. Soient (E, · ) un espace normé. Un sous ensemble non vide A de E est dit
connexe si pour tous ouverts disjoints U et V de E, si A ⊆ U ∪ V alors A ⊆ U ou A ⊆ V .
1) (Tout intervalle de IR est connexe) Soit I un intervalle de IR et soient U et V deux ouverts
disjoints tels que I ⊆ U ∪ V .
i. Soit (a, b) ∈ I 2 , tel que a < b. Supposons que a ∈ U et posons
E = {x ∈ [a, b] : [a, x] ⊆ U}.
Montrer c = sup E existe, a-t-on c ∈ V . Conclure.
ii. Que peut-on dire si a ∈ V .
iii. En déduire que I ⊆ U ou I ⊆ V .
2) En déduire que tout connexe par arcs dans un espace vectoriel normé est un connexe
(ind. soit A un connexe par arcs dans E, s’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que
A ⊆ U ∪ V , A ∩ U = ∅ et A ∩ V = ∅, considérer une application continue f : [0, 1] −→ A telle
que f(0) ∈ A ∩ U et f(1) ∈ A ∩ V ).
Exercice 3. Soit Mp(IR) munie de sa norme · . Soit A et B deux éléments de Mp(IR)
tels que AB − BA = B.
1) Calculer en fonction des puissances de B, AB n − B n A, où n ∈ IN ∗ .
2) En déduire que B est nilpotente.
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