Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
une application admet une différentielle d’ordre m + 1, m ≥ 1, alors pour h ∈ R n
assez petit on a
posons
f(x + h) = f(x)
+ m
h
r=1 α1+···+αn=r
α1 1 ···hαn n ∂
α1!···αn!
r
∂x α1 1 ···∂xαn n
+ o(h m ).
Démonstration. Dans les conditions du théorème. Soit fi la i-ème composante de f,
ϕi : [−1, 1] −→ R; t ↦→ fi(x + th).
Alors ϕi admet une dérivée d’ordre m + 1, ainsi elle vérifie la formule de Taylor-Young ”clas-
sique”, c’est à dire pour un certain θ ∈ [0, 1]
m 1
ϕi(1) = ϕ(0) +
r! ϕr (0) +
Or on a pour r ∈ {1, · · · , m + 1},
ϕ r i (t) = r! ·
r=1
α1+···+αn=r
h α1
1 · · · h αn
n
α1! · · · αn!
f(x)
1
(m + 1)! ϕm+1 (θ).
∂ r
∂x α1
1 · · · ∂xαn n
fi(x + th).
Donc la formule Taylor-Young est vérifie pour toute composante fi, ainsi elle est vraie pour f.
5. Extremums relatifs.
Définition 6.5. Soit f une application définie d’un ouvert U de R n dans R. On
dit que f presente en un point a de U :
• un maximum local s’il existe un voisinage V ⊆ U de a tel que f(x) − f(a) ≤
0, x ∈ V ,
• un minimum local s’il existe un voisinage V ⊆ U de a tel que f(x) − f(a) ≥
0, x ∈ V ,
local.
• un extremum local si f présente en a un maximum local ou un minimum local.
La proposition suivante donne une condition nécessaire pour qu’un point soit un extremum
Proposition 6.6. Soit f une fonction de classe C k , k ≥ 1, définie d’un ouvert
U de R n dans R. Si un point a de U est un extremum local de f, alors a est un
point critique de f c’est à dire df(a) = 0.
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