Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

34 Z. ABDELALI
x > 0.
2) En déduire que la série
un converge et que la suite (xn)n converge vers une limite
3) En utilisant la formule de Wallis :
n
2 · 2 4 · 4 2n · 2n
lim · · · ·
n→∞ 1 · 3 3 · 5 (2n − 1) · (2n + 1)
(2
montrer que lim
n→∞
n ·n!) 2
(2n)!· √ 2n+1 = π
2 .
x2n
4) En remarquant que lim
n→∞ (xn) 2 = 1
x
5) En déduire que (n!)n et ((ne−1 ) n√2πn)n sont équivalents.
6) En déduire la nature de la série (ne−1 ) n
. n!
n
= π
2
, déduire que lim
n→∞ xn = 1 √ .
2π
Exercice 4. 1) En utilisant le théorème de comparaison série-integrale, vérifier que
n
k=1
1
− ln(n)
k
converge vers une constante C (constante d’Euler).
2) Soit la série harmonique alternée :
∞
n=0
(−1) n
n + 1
Démontrer que la some partielle S2n+1 de cette série vaut : σ2n+1 − σn où σn = n
3) Prouver que lim
n→∞ S2n+1 = ln 2 et que la somme de la série harmonique alternée existe et
elle vaut ln 2.
4) En déduire une valeur approchée de ln 2 à l’ordre 1
10 .
Exercices facultatifs
k=0
1
k+1 .
Exercice 5. (Règle de Duhamel) 1) Soit (un)n une suite de termes positifs vérifiant :
un+1
= 1 −
un
β 1
+ o(
n n )
Montrer que pour β ∈ IR \ {1},
un converge si et seulement si β > 1.
2) Soit (un)n une suite de termes positifs vérifiant :
un+1
un
n
= 1 − α
n
On pose vn = n α un, étudier la série
1
+ O( ) α > 0, β > 1
nβ ln(
n
vn+1
vn ) et déduire que la suite (vn)n possède une limite
l > 0. En déduire la nature de la série
un.
n