Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

96 Z. ABDELALI
D’après l’exemple 6.1 l’existence des dérivées partielles n’implique pas que l’application est
différentiable. Mais on a
Théorème 6.2. Soit U est un ouvert de R n , une application f : U → R p et conti-
nument différentiable sur U si, et seulement si, ses dérivées partielles existent
sur U et elles sont continues.
a
Soit {e ′ 1, · · · , e ′ p} la base canonique de R p . Alors pour toute application f : U −→ R p , on
f(x) = (f1(x), · · · , fp(x))
où fi : U −→ R est la i-ème composante de f, c’est à dire fi = πi ◦ f où πi est la i-ème
projection. On a
Proposition 6.4. L’appliquation f est de classe C k , k ∈ N, si, et seulement si,
pour tout 1 ≤ i ≤ p, fi est de classe C k .
Démonstration. Les projections πi, 1 ≤ i ≤ p, sont linéaires donc elle sont de
classe C k . Si f est de classe C k , k ∈ N, fi = πi ◦ f est aussi de classe C k . Inversement, si les
fi, 1 ≤ i ≤ p, sont de classe C k , l’écriture f = f1e ′ 1+· · ·+fpe ′ p entraîne que f est de classe C k .
2.3. Matrice jacobienne. Comme conclusion des résultats précédants on a
Corollaire 6.3. Une application
f : U −→ R p ,
est continument différentiable sur U si, et seulement si,
sont bien définies et continues.
∂
fi, 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n
∂xj
Définition 6.3. Soit f : U −→ R p une application différentiabe en un point x de
U, la matrice jacobienne de f au point x, notée J(f)(x) est la matrice de df(x) dans
les bases canoniques de Rn et Rp
respectivement, c’est à dire
.
∂
∂xj fi
1≤i≤p
1≤j≤n
La formulle de compositions des différentielles permet d’obtenir la règle de la chaine
suivante