Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
1) Pour un élément x ∈ A, les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) f est continue au point x,
b) l’image réciproque de tout voisinage de f(x) est un voisinage de x dans A,
c) pour toute suite (un)n dans A qui converge vers x, la suite (f(un))n converge
vers f(x)
2) Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) f est continue sur A,
b) l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert de A,
c) l’image réciproque de tout fermé est un fermé de A.
Remarque 1.6. On a les critères pratiques suivants pour reconnaître certains ouverts et
fermés de R.
1) Si F est un fermé dans R, si de plus f1, f2, ..., fn sont des applications, à valeurs réelles,
continues sur F , alors l’ensemble {x ∈ F : fi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n} est un fermé dans R.
2) Si O est un ouvert dans R, si de plus f1, f2, ..., fn sont des applications, à valeurs réelles,
continues sur O, alors l’ensemble {x ∈ O : fi > 0, 1 ≤ i ≤ n} est un ouvert dans R.
4.4. Parties fermées et suites.
Proposition 1.7. Soit F sous ensemble de R, alors on a l’équivalence :
1) F est fermé dans R,
2) pour toute suite (un)n ⊆ F , qui converge vers une limite l ∈ R, on a l ∈ F .
Démonstration. Soit F un fermé dans R, et supposons que (un)n une suite d’éléments
de F qui converge dans R vers une limite l. Supposons que l ∈ F , donc l est in élément de
l’ouvert R \ F . Donc il existe un entier N, tel que pour tout n ≥ N, un ∈ R \ F . En particulier
uN ∈ R \ F , absurde.
Réciproquement, Supposons que 2) est vraie et que F n’est pas fermé, donc R \ F n’est pas
un ouvert. Donc il existe a ∈ R \ F tel que aucun intervalle centré en a n’est contenu dans
R \ F . Ainsi pour tout n ∈ N∗ , F ∩]a − 1 1 , a + n n [ est non vide, soit xn un élément quelconque
de cette intersection. La suite (xn)n, est une suite d’éléments de F qui converge vers a ∈ F , ce
qui est absurde.
Exercices 1.5. I) Soit A une partie de R, montrer que les propriétés suivantes sont
équivalentes :
1) x ∈ A,
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