Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Démonstration. Exercice.
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Une propriété équivalente à celle de la borne supérieure et le théorème suivant :
Théorème 1.1. (de Bolzano-Weierstrass) Toute suite réelle bornée admet une
sous suite extraite convergente.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite bornée. Il existe un segment [m, M] qui contient
tous les éléments de la suite (un)n∈N. Soient (an)n et (bn)n les deux suites définies par a0 =
m, b0 = M, et si {k ∈ N : uk ∈ [an, an+bn
2 ]} est infini
dans l’autre cas
an+1 = an et bn+1 = an + bn
2
an+1 = an + bn
2
et bn+1 = bn
alors on a (an)n est une suite croissante, (bn)n est une suite décroissante et bn −an = M−m
2 n
9
→ 0.
Donc (an)n et (bn)n convergent vers une même limite l, en effet, l c’est sup{an : n ∈ IN}.
Rappelons que pour tout entier n l’intervalle [an, bn] contient une infinité de termes de la suite
(uk). Posons k0 = 0 et choisisons pour tout n > 0 un entier kn vérifiant
kn > max{k0, ..., kn−1} et ukn ∈ [an, bn]
Alors (ukn)n est une sous suite extraite de (un)n et on a lim
n→∞ ukn = l.
3. Suites de Cauchy dans R.
Définition 1.3. Une suite (un)n∈N est appelée suite de Cauchy si elle vérifie la
propriété suivante, appelée critère de Cauchy :
où
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, ∀m ≥ N, |un − um| < ε.
Le critère de Cauchy peut être aussi s’énoncer ainsi :
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, ∀p ≥ 0, |un+p − un| < ε.
Exercices 1.3. Vérifier qu’une suite (un)n∈N est de Cauchy si, et seulement si lim
n→∞ Mn = 0
Mn = sup |un+p − un| = 0.
p∈N