Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
3.3. Exemples de fonctions développables en séries entières.
1) Fonction exp. • On a exp(x) est de classe C ∞ sur R.
• Pour tout r > 0, sup | exp
x∈]−r,r[
(n) (x)| rn
rn ≤ exp(r) −→ 0.
n! n!
• Donc cette fonction est développable en série entière sur R et exp(x) = ∞
2) Nous déduisons que cosh et sinh sont développables en séries entières sur R et
cosh(x) =
∞
n=0
x 2n
(2n)!
et sinh(x) =
∞
n=0
x 2n+1
(2n + 1)!
3) Fonctions cos et sin. Ces deux fonctons sont développables en séries entières sur R et
cos(x) =
∞ (−1) nx2n et sin(x) =
(2n)!
n=0
∞
n=0
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)!
4) Fonction f(x) = (1 + x) α , α ∈ R ∗ . • L’équation différentielle (1 + x)y ′ − αy = 0, y(0) = 1
possède f comme solution unique sur ] − 1, 1[ (il suffit de calculer la dérivée de (1 + x) −α y(x)).
• D’autre part montrons que cette équation possède une solution donnée par une série entière.
Posons h(x) = ∞
anxn . Si h est une solution de l’équation sur ] − 1, 1[, alors (1 + x)h ′ −
n=0
αh = 0, h(0) = 1. Donc a0 = 1, et (1 + x) ∞
nanx
n=1
n−1 − α ∞
anx
n=0
n = 0, donc ∞
nanx
n=1
n−1 +
∞
nanxn − ∞
αanxn = 0, c’est à dire ∞
(n + 1)an+1xn + ∞
nanxn − ∞
αanxn = 0, d’où
n=1
n=0
n=0
(a1 − αa0) + ∞
((n + 1)an+1 + nan − αan)xn = 0. Nous obtenons les formulles a1 = αa0 =
n=1
α, (n+1)an+1+(n−α)an = 0. Ainsi an = α(α−1)···(α−(n−1))
n!
∞
= 1. D’où h(x) = 1 +
|an+1|
lim
n→∞ |an|
n−α = lim
n→∞ n+1
n=1
n=1
n=0
n=0
x n
n! .
. De plus pour tout entier n, an = 0 et
α(α−1)···(α−(n−1))
x n!
n et Rh = 1, ainsi h est définie
sur ] − 1, 1[. D’après l’unicité de la solution de l’équattion différentielle on a pour x ∈] − 1, 1[
(1 + x) α = f(x) = h(x) = 1 +
∞
n=1
5) Foncton arctan. • On a arctan(x) est de classe C ∞ .
α(α − 1) · · · (α − (n − 1))
x
n!
n
• arctan ′ (x) = 1
1+x2 , donc arctan ′ (x) est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et on a
arctan ′ (x) = ∞
(−1) nx2n .
n=0
• arctan s’annule en 0, donc elle est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et on a
arctan(x) =
∞
n x2n+1
(−1)
2n + 1
n=0
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