Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Proposition 6.5. Soit U (resp. V ) un ouvert de R n (resp. R p ) et soit x ∈ U.
Supposons que f : U −→ R p est différentiable en x, f(x) ∈ V et g : V −→ R q est
différentiable en f(x), alors pour tout 1 ≤ k ≤ q
p
∂
∂
(gk ◦ f)(x) = gk(f(x)) ·
∂xi
∂yj
∂
fj(x).
∂xi
j=1
Démonstration. On a d(g ◦ f)(x) = dg(f(x)) ◦ df)(x), donc la matrice J(g ◦ f)(x)
n’est autre que la matrice produit J(g)(f(x)) · J(f)(x). Donc les deux expressions de la k-ème
colonne de la matrice J(g ◦ f)(x) donne le résultat.
3. C k difféomorphismes.
Définition 6.4. Soit f une application bijective d’un ouvert de R n sur un ouvert
V de R n . Alors on dit que f est un
1) homéomorphisme ou C 0 -difféomorphisme si f et f −1 sont continues,
2) C k -difféomorphisme, k ≥ 1, si f et f −1 sont de classe C k .
Remarque 6.4. Dans la définition précédante si on suppose que V est ouvert de R p et si
f est un C k -difféomorphisme, k ∈ N, alors p = n nécessairement. Pour k ≥ 1, on a df(x) est
un isomorphisme de R n sur R p . Mais pour k = 0 la conclusion est difficile.
Théorème 6.3. (d’inversion locale) Soit f une application de classe C k , k ≥ 1,
sur un ouvert U de R n dans R n , supposons que pour un certain point x de U, on
a df(x) est inversible, c’est à dire |J(f)(x)| = 0, alors il existe un voisinage ouvert
O ⊆ U de x et un voisinage ouvert V de f(x), tels que la restriction de f à O est
un C k -difféomorphisme de O sur V .
Démonstration.
À admettre.
Corollaire 6.4. (d’inversion globale) Avec les hypothèses du théorème précédant. Sup-
posons de plus que f est injective sur U et pour tout x ∈ U, |J(f)(x)| = 0, alors f(U) est un
ouvert et
est un C k -difféomorphisme.
Démonstration. Exercice.
f : U −→ f(U)
Une conséquence du théorème d’inversion locale on a le théorème important suivant
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