Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

60 Z. ABDELALI
mais elle ne converge pas uniformément vers 0. En effet, sup |fn(x) − 0| ≥ sup |x
x∈[0,1]
x∈[0,1[
n − 0| = 1,
ne converge pas vers zéro.
Définition 4.2. Soit (fn)n une suite de fonctions définie sur un ensemble non vide A. On
dira que (fn)n est uniformément de Cauchy si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme
suivant :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ A, |fn+p(x) − fn(x)| < ε.
Proposition 4.1. Une suite de fonctions définie sur un ensemble A, non vide, est uni-
formément convergente sur A si, et seulement si, elle est uniformément de Cauchy.
Démonstration. On peut vérifier facilement que la condition est nécessaire. Montrons
qui elle est suffisente. Soit (fn)n une suite de fonctions qui est uniformément de Cauchy. On a
pour tout x ∈ A, la suite (fn(x))n est de Cauchy dans K, donc elle converge vers une limite
notée f(x). La correspondance f : A −→ K; x ↦→ f(x) est une applications. Par construction
(fn)n converge simplement vers f. Rappelons que (fn)n est uniformément de Cauchy, donc
Dans ces conditions on a :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀m ≥ N, ∀x ∈ A, |fm(x) − fn(x)| < 1
2 ε.
D’où (fn)n converge uniformément vers f.
|f(x) − fn(x)| = lim |fm(x) − fn(x)| ≤
n→∞ 1
ε < ε.
2
1.2. Convergence uniforme, limite et continuité.
Remarque 4.2. Dans l’exemple précédant, les fonctions fn, n ∈ N, sont continues et la
limite simple f n’est pas continue au point 1. Donc la convergence simple ne suffit pas pour
transporter la continuité.
Proposition 4.2. Soit (fn)n une suite de fonctions continues en un point a d’une partie
A de K, supposons de plus que (fn)n converge uniformément vers une fonction f sur A,
alors f est continue en a.
Démonstration. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N, pour tout n ≥ N, sup |f(x) − fn(x)| < ε.
x∈A
On a fN est continue au point a, donc il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ A, |x − a| < η =⇒
|fN(x) − fN(a)| < ε. D’où pour tout x ∈ A tel que |x − a| < η, on a
|f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − fN(x)| + |fN(x) − fN(a)| + |fN(a) − f(a)| < 3ε.