Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Démonstration. Si l et l ′ sont deux limites d’une suite (un)n dans un espace normé
(E, ). Alors lim
n→∞ un − l = lim
n→∞ un − l ′ , donc
ainsi l − l ′ = 0 et l = l ′ .
l − l ′ ≤ l − un + un − l ′ → 0,
Définition 3.3. Une suite u = (un)n d’éléments d’un espace normé (E, ), est
dite suite de Cauchy si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, ∀m ≥ N, un − um < ε.
Exactement comme le cas réel on a :
Proposition 3.2. Dans un espace normé toute suite convergente est de Cauchy.
Démonstration. Exercice.
Attention 3.1. Dans un espace normé (E, · ) une suite de Cauchy n’est pas
nécessairement convergente. Soit par exemple E = R[X] l’espace des polynômes à coefficients
réels, muni de la norme · ∞ définie par :
a0 + a1X + · · · + anX n ∞ = max{|a0|, |a1|, ..., |an|}.
Alors, (un)n où un = X + 1
1
X + · · · + 2 nXn est une suite de Cauchy car pour n, p ∈ N,
un+p − un ≤ 1 , mais pour tout polynôme
n+1
et pour tout n ≥ m + 1, on a
donc (un)n ne converge pas vers P .
P = a0 + a1X + · · · + amX m ,
un − P 1 ≥ 1
m + 1
Définition 3.4. Un espace normé (E, ·) est dit complet si toute suite de Cauchy
de E est convergente.
> 0
Un espace normé complet est appelé espace de Banach.
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