Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

lim
x→∞ fn(x) = ln existe. Alors les limites lim
x→∞
C’est à dire que
lim
x→∞
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
∞
fn(x) et lim
n=0
∞
fn(x) =
n=0
n→∞ n=0
∞
lim
x→∞ fn(x)
n=0
65
∞
ln existent et elles sont égales.
Proposition 4.10. Soit
fn une série de fonctions continues sur un ségment [a, b],
n
supposons de plus que
fn converge uniformément. Alors ∞
fn est continues sur [a, b]
et on a :
n
b
a
∞
fn(x)dx =
n=0
∞
n=0
b
a
fn(x)dx.
Proposition 4.11. Soit
fn une série de fonctions définies sur un intervalle borné I de
longueur l, telle que :
1) pour tout n ∈ N, fn est dérivable sur I,
2) la série de fonctions ∞
n
f
n=0
′ n converge uniformément sur I,
3) il existe c ∈ I tel que ∞
fn(c) converge.
n=0
Alors la série de fonctions
fn converge uniformément et dérivable sur I. De plus
on a :
n
∞
( fn) ′ =
n=0
2.2. Autres types de convergence.
∞
f ′ n.
Proposition 4.12. Soit (fn)n une suite décroissante de fonctions positives sur un ensemble
A non vide, supposons de plus (fn)n converge uniformément vers zéro, alors la série
converge uniformément.
n=0
n=0
(−1)
n
nfn Démonstration. Pour tout x ∈ A,
(−1) nfn(x) est une série alternée, donc elle converge.
n
D’après la formulle de la majoration du reste, on a |Rn(x)| ≤ fn+1(x), ainsi le reste converge
uniformément vers zéro. D’où la série converge uniformément vers 0.
Définition 4.4. Soit
fn une série de fonctions définies sur un ensemble A non vide. On
n
dira que :
1)
fn converge absolument, sur A, si la série
n
|fn| converge simplement sur A.
n
2)
fn converge normalement sur A, si on a la convergence de la série
n
n
sup |fn(x)|.
x∈A