Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Ainsi, ∞
n=1
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
1
nα converge si, et seulement si, α > 1.
Corollaire 2.3. (Règle de Riemann) Soit
un une série à termes positifs.
1) S’il existe un M > 0 et α > 1 tels que nαun ≤ M, en particulier si lim n
n→∞ αun existe, alors la série
un converge.
n
2) S’il existe un M > 0 et α ≤ 1 tels que nαun ≥ M, alors la série
un diverge.
Démonstration. Exercice.
4.2. Règle de Cauchy. Ici on vas étudier les séries comparables aux séries géométiriques.
Proposition 2.8. (Règle de Cauchy) Soit
un une série à termes positifs.
n
1) S’il existe 0 ≤ λ < 1 tel que pour n assez grand n√ un ≤ λ, alors la série
converge.
2) Si pour une infinité d’indices on a n√ un ≥ 1, alors la série
n
n
n
n
un diverge.
Remarque 2.3. Comme cas particulier de la règle de Cauchy, on a si
un une série à
termes positifs, et si de plus lim
n→∞
• si λ < 1, la série converge,
• si λ > 1, la série diverge,
• si λ = 1, on peut rien dire.
4.3. Règle de d’Alembert.
n√ un = λ, alors :
Proposition 2.9. Soient
un et
vn deux séries, supposons de plus qu’il existe
n0 ∈ N tel que pour n ≥ n0, un > 0, vn > 0 et
1) Si
vn converge alors
n
n
2) Si
un diverge alors
n
n
n
n
un+1
un
≤ vn+1
.
vn
un converge.
vn diverge.
Démonstration. Pour tout entier n ≥ n0, un+1
vn+1
un ≤ un 0 vn. D’où le résultat.
vn0 un
un
≤ . D’où vn
n
vn ≤ un 0
vn0 27
un
, ainsi