Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

52 Z. ABDELALI
Démonstration. Soit {e1, ..., ep} une base de E et soit ·∞ la norme infinie de E associée
à cette base. Pour tout x = x1e1 + · · · + xpep ∈ E, on a
f(x) ′ ≤ |x1|f(e1) ′ + · · · + |xp|f(ep) ′
≤ x∞(f(e1) ′ + · · · + f(ep) ′ ).
Sur l’espace E, la norme · ∞ est équivalente à la norme · . Donc il existe M > 0, tel que
pour tout x ∈ E, x∞ ≤ Mx. D’où pour tout x ∈ E, on a
f(x) ′ ≤ M(f(e1) ′ + · · · + f(ep) ′ )x.
2.1. Quelques Exemples d’espaces vectoriels normés. I. Le corps C est un espace
vectoriel sur R de dimension 2, de plus l’application R 2 −→ C; (a, b) ↦→ a + ib permet
d’identifier R 2 à C. Ainsi la norme · 2 sur C n’est autre que le module | · |.
II. Soient (E, · ) et (F, · ′ ) deux espaces normés de dimension finie. Soit L(E, F)
l’espace des homomorphismes de E dans F . Tout f ∈ L(E, F ), est continue. Donc sup f(x)
x=1
′
existe et fini, alors f ↦→ f := sup
x=1
est la norme de L(E, F ) (subordonée aux normes de E et F ).
f(x) ′ est une norme sur L(E, F ). On dira que f ↦→ f
III. Soit L(E) l’espace des endomorphismes sur E, on a la norme · de L(E), subordonée
à la norme de E, vérifie aussi f ◦ g ≤ f · g.
IV. L’espace Mn(R) des matrices d’ordre n s’identifie à L(R n ).
• Chaque norme sur R n donne naissance à une norme sur Mn(R) qui vérifie pour tout
(A, B) ∈ Mn(R) 2 , AB ≤ A · B.
• On aussi pour M ∈ Mn(R), M = tr(M · M t ) définie une nourme eucli-
diennee sur Mn(R), où tr(M) (resp. M t ) désigne la trace (resp. transposée) de M (en fait
〈M, N〉 = tr(M · N t ) est un produit scalaire sur Mn(R)).
V. Si F = R alors L(E, F ) n’est autre que l’espace dual de E, noté E ′ , c’est l’espace des
formes linéaires sur E.