Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

50 Z. ABDELALI
x∞ = max
1≤i≤n |xi|,
et x2 = |x1| 2 + · · · + |xn| 2 sont toutes des normes sur E.
Remarque 3.7. Dans le reste de ce paragraphe si E est un espace vectoriel de dimension
finie. On peut se permettre de définir les normes
· 1, · 2, · ∞
elles seront alors rapporter, sans le dire par fois, à une base quelconque de l’espace E. Signalons
que ces tois normes sont équivalentes.
Théorème 3.2. (de Bolzano-Weierstrass) Soit E un espace normé de dimension
finie muni d’une norme · ∞, où une norme équivalente, alors de toute suite
bornée de E on peut extraire une sous suite convergente.
Démonstration. On peut supposer que E = R p et soit · ∞ la norme infinie sur E. On
démontre le théorème par récurrence sur p. Si p = 1, le théorème est déjà démontré. Supposons
le résultat vrai pour p, Si (un)n est une suite bornée de R p+1 , donc un = (u 1 n, ..., u p+1 n),
alors la suite ((u 1 n, ..., u p n))n est bornée dans R p donc, par hypothèse de récurrence, elle
possède une sous suite extraite ((u 1 σ(n), ..., u p σ(n)))n qui converge. La suite (u p+1 σ(n))n est
bornée donc elle possède une sous suite extraite ((u 1 σ(ϕ(n)), ..., u p σ(ϕ(n))))n qui converge. Donc
((u 1 σoϕ(n), ..., u p+1 σoϕ(n)))n est une sous suite extraite de (un)n qui converge.
Proposition 3.12. Soit E un espace normé de dimension finie muni de la norme
·∞, où une norme équivalente, Alors les parties compacts de E sont exactement
les parties fermées bornées.
Démonstration. Exercice.
Exemples 3.4. Soit E un espace normé de dimension finie muni d’une norme · ∞, où
une norme équivalente.
1) Les boules fermées est les sphères sont des compacts dans E.
2) Si (xn)n est une suite qui converge vers un élément x dans E, alors l’ensemble
est un compact.
K = {xn : n ∈ N} ∪ {x}