Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

CHAPITRE 4
Suites et séries de fonctions
1. Suites de fonctions.
Dans tout ce chapitre K désignera le corps R, C ou un espace normé de dimension finie
(E, | |)). Ainsi toute suite de Cauchy de K converge. Soit A un ensemble si pour tout n ∈ N,
on a une fonction
alors (fn)n∈N est appelée suite de fonctions.
fn : A −→ K
1.1. Différents types de convergence pour les suites de fonctions.
Définition 4.1. Soit (fn)n une suite de fonctions définie sur un ensemble non vide A.
1) On dira que (fn)n converge simplement, sur A, vers f : A → K si pour tout x ∈ A
fixe, la suite (fn(x))n converge vers f(x).
2) On dira que (fn)n converge uniformément sur A vers f : A → K, si
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ A, |f(x) − fn(x)| < ε.
Remarque 4.1. 1) Si (fn)n converge uniformément vers f sur A, alors elle converge
simplement sur A, vers f.
2) Si (fn)n est une suite de fonctions qui converge (simplement ou uniformément), alors sa
limite est unique.
3) (fn)n converge uniformément sur A vers f, si et seulement si, (sup |fn(x)−f(x)|)n converge
x∈A
vers zéro, si et seulement si, il existe une suite (λn)n converge vers zéro et il existe N ∈ N tels
que pour tout n ≥ N et tout x ∈ A, |fn(x) − f(x)| ≤ λn.
Exemples 4.1. Soit pour tout n ∈ N,
On a (fn)n converge simplement vers
fn : [0, 1] −→ K; x ↦→ x n .
f : [0, 1] −→ K; f(1) = 1, f(x) = 0, si x ∈ [0, 1[,
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