Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Ainsi f est continue en a.
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Corollaire 4.1. Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur une partie non vide A
de K, supposons de plus que (fn)n converge uniformément vers une fonction f sur A, alors
f est continue sur A.
Théorème 4.1. Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur une partie A de K,
supposons de plus que (fn)n converge uniformément sur tout compact de A vers une
fonction f, alors f est continue sur A.
Démonstration. Soit (xk)k une suite qui converge vers x dans A, montrons que (f(xk))k
converge vers f(x). L’ensemble
K = {xk : k ∈ N} ∪ {x}
est un compact (voir chapitre 3, §2, exemple 3.4). Donc (fn)n converge uniformément vers f
sur K, ainsi f est continue sur K. Alors lim
k→∞ f(xk) = f(x).
Proposition 4.3. (Double limite) Soit (fn)n une suite de fonctions qui converge uni-
formément sur une partie non vide A de K vers un fonction f. Soit a ∈ A. Supposons de
plus que pour tout n ∈ N, lim
x→a fn(x) = ln existe. Alors les limites lim
x→a f(x) et lim
n→∞ ln existent
et elles sont égales. C’est à dire que
lim
x→a lim
n→∞ fn(x) = lim lim fn(x)
n→∞ x→a
Démonstration. Chaque fn se prolonge en une fonction gn continue au point a, de plus
(gn)n vérifie le critère de Cauchy uniforme sur A ∪ {a}, ainsi elle converge vers un fonction g
continue au point a et la restriction de g sur A est f. D’où lim
x→a f(x) = g(a) = lim
n→∞ gn(a) =
lim
n→∞ ln.
Proposition 4.4. (Double limite) Soit (fn)n une suite de fonctions qui converge uni-
formément vers une fonction f sur un intervalle A = [a, +∞[ (ou ] − ∞, a]). Supposons de
plus que pour tout n ∈ N, lim
x→∞ fn(x) = ln existe. Alors les limites lim
x→∞ f(x) et lim
n→∞ ln existent
et elles sont égales. C’est à dire que
lim
x→∞ lim
n→∞ fn(x) = lim
n→∞ lim
x→∞ fn(x)
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