Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

30 Z. ABDELALI
les termes généraux de ces deux séries sont équivalents, mais la première série est convergente
(voir le sous paragraphe sur les séries alternée) et la deuxième est divergenente. En effet, on a
∞ (−1) n
√
n+1+(−1) n et S = ∞
n=0
n=0
( (−1)n (−1)
√ − n+1 n
√
n+1+(−1) n ) sont de même natures. De plus
(−1) n (−1)
√ − n+1 n
√
n+1+(−1) n
Donc S est une série de terme général positif
diverge, ainsi ∞ (−1) n
√
n+1+(−1) n diverge.
∞
n=n0
où
n=0
6.2. Séries produit.
Définition 2.5. Soient ∞
un et ∞
n=n ′ o
n=n0
vn est la série :
un et ∞
wn =
n=n ′ 0
= (−1)n√ n+1+1−(−1) n√ n+1
√ n+1( √ n+1+(−1) n )
=
1
√ n+1( √ n+1+(−1) n )
√ √ 1
n+1( n+1+(−1) n ≥ ) 1
n+1
pour n ≥ 2, d’où elle
vn deux séries, la série produit des séries
∞
n=n0+n ′ 0
wn
p+q=n
p≥n0, q≥n ′ 0
upvq
Remarque 2.5. 1) Dans la définition précédante si n0 = n ′ 0 = 0, alors
wn =
p+q=n
upvq = unv0 + un−1v1 + · · · + u0vn
= n
un−kvk.
k=0
2) La série produit de deux série est appelée aussi produit de Cauchy.
Proposition 2.11. La série prduit
gentes ∞
n=n0
un et ∞
n=n ′ 0
∞
n=n0+n ′ 0
vn est absolument convergente et on a
∞
n=n0+n ′ 0
n=n0
wn de deux série absolument conver-
∞
∞
wn = ( un) · ( vn)
Démonstration. a) Cas où les deux séries ∞
pour tout entier m ≥ n0 + n ′ 0,
(
m
un) · (
n=n0
m
vn) ≤
n=n ′ 0
2m
n=n0+n ′ 0
n=n0
wn ≤ (
n=n ′ 0
un et ∞
2m
n=n0
n=n ′ 0
un) · (
vn sont à termes positifs, on a
2m
n=n ′ 0
vn)