Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

78 Z. ABDELALI
3) Pour tout α > 0, les fonctions sont continue sur [α, ∞[ et on a la convergence uniforme.
Donc f est continue sur [α, ∞[, α > 0, par suite f est continue sur ]0, ∞[.
4) On a f est continue sur ]0, ∞[ et |f(x)| ≤ f1(x) (majoration du reste), de plus il est
clair que ∞
0 f1(x)dx existe. Donc f est absolument intégrable sur ]0, ∞[, ainsi ∞
f(x)dx est
convergente.
5) 0n a pour tout n ≥ 1,
∞
0
fn(x)dx = lim
c→∞
c
| m
∞
(−1)
f(x)dx − 0
n=1
n
0
fn(x)dx = lim [
c→∞ (−1)n+1
λn | = | m
∞
(f(x) −
0
n=1
λn
≤ ∞
0 fm+1(x)dx = 1
λm+1
6) Pour λn = n, on a f(x) = ∞
(− exp(−x)) n =
∞
n=1
(−1) n
n =
∞
0
n=1
− exp(−x)
1 + exp(−x)
0
dx ==
1
u=exp(−x)
e −λnx ] c 0 = − (−1)n+1
λn
fn(x))dx| ≤ ∞
0 |f(x) − m
−→ 0.
− exp(−x)
. Donc
1+exp(−x)
0
= (−1)n
.
λn
n=1
fn(x)|dx
1
1 + u du = −[ln(1 + u)]1 0 = − √ 2.
Exercice 4. a) On a pour x ∈] − 1, 1[, |un(x)| ≤ |x| n , donc la série converge. Remarquons
que cos(nα) ne convrge pas vers zéro. Donc pour |x| > 1, un ne converge pas vers zéro donc
la série diverge. D’où le rayon de convergence est 1. On a aussi u ′ n(x) = x n−1 cos(nα) =
1
2 (xn−1einα + xn−1e−inα . Donc
∞
n=1
De plus on a ∞
u ′ n(x) = eiα
2
n=1
∞
(eiαx) n−1 + e−iα
n=1
2
∞
(e−iαx) n−1 = eiα
n=1
= cos(α)−x
1−2x cos(α)+x 2 = −1
2 ln′ (|x 2 − 2x cos(α) + 1|)
un(0) = 0 = −1
2 ln(|02 − 2 · 0 cos(α) + 1|), donc
f(x) =
∞
n=1
2(1−xe iα )
un(x) = −1
2 ln(|x2 − 2x cos(α) + 1|), x ∈] − 1, 1[.
+ e−iα
2(1−xe −iα )
b) Il est clair que le rayon de convergence est +∞. • Pour x = 0, ∞
un(0) = 1.
• Pour x > 0, on a √ xun(x) = (−1)n√x 2n+1
, donc √ x ∞
un(x) = sin( √ x).
(2n+1)!
• Pour x < 0, x = − √ −x, donc √ −xun(x) = √ −x 2n+1
(2n+1)! . Ainsi √ −x ∞
D’où
⎧
n=0
sin( √ x)
√ x si x > 0
∞
⎪⎨
g(x) = un(x) = 1 si x = 0
n=0 ⎪⎩
sinh( √ −x)
√ −x si x < 0
n=0
n=0
un(x) = sinh( √ −x).