Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
au voisinage de (a, b), l’équation f(x, y) = 0 définie une courbe possèdant une paramétrisation
de la forme z = ϕ(x). De plus la tangente en (a, b) est d’équation :
(x − a) ∂
∂
f(a, b) + (y − b) f(a, b) = 0.
∂x ∂y
II) Surfaces dans R 3 . Soit U un ouvert de R 3 , et soit f : U −→ R, une application de classe
Ck , k ≥ 1, supposons qu’il existe (a, b, c) ∈ U tel que f(a, b, c) = 0 et ∂ f(a, b, c) = 0. Alors il
∂z
existe un intervalle ouvert I centré en a, un intervalle ouvert J centré en b, un intervalle ouvert
K centré en c et une fonction unique ϕ : I×J → K de classe C k tels que ϕ(a) = b, I×J×K ∈ U
et f(x, y, ϕ(x, y)) = 0 pour tout (x, y) ∈ I × J. Donc au voisinage de (a, b, c), l’équation
f(x, y, z) = 0 définie une surface possèdant une paramétrisation de la forme z = ϕ(x, y). De
plus le plan tangent en (a, b) est d’équation :
(x − a) ∂
∂
∂
f(a, b, c) + (y − b) f(a, b, c) + (z − c) f(a, b, c) = 0.
∂x ∂y ∂z
III) Courbes dans R 3 . Soit U un ouvert de R 3 , et soient f : U −→ R et g : U −→ R,
deux applications de classe C k , k ≥ 1, supposons qu’il existe (a, b, c) ∈ U tel que f(a, b, c) =
0, g(a, b, c) = 0 et
∂
∂
∂
∂
f(a, b, c) · g(a, b, c) − f(a, b, c) · g(a, b, c) = 0.
∂y ∂z ∂z ∂y
Alors il existe un intervalle ouvert I centré en a, un intervalle ouvert J centré en b, un intervalle
ouvert K centré en c et un unique couple de fonctions (ϕ, ψ) avec ϕ : I → K, ψ : J → K
de classe C k tels que (ϕ(a), ψ(a)) = (b, c), I × J × K ∈ U et f(x, ϕ(x), ψ(x)) = 0 pour tout
x ∈ I. Donc au voisinage de (a, b, c), le système f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0 défini une courbe
possèdant une paramétrisation de la forme y = ϕ(x), z = ψ(x). De plus la tangente en (a, b)
est d’équations :
(x − a) ∂
∂
∂
f(a, b, c) + (y − b) f(a, b, c) + (z − c) f(a, b, c) = 0.
∂x ∂y ∂z
(x − a) ∂
∂
∂
g(a, b, c) + (y − b) g(a, b, c) + (z − c) g(a, b, c) = 0.
∂x ∂y ∂z
4.1. Théorème de Schwarz.
4. Dérivées partielles d’ordre supérieure.
Théorème 6.5. (de Schwarz) Soit f une application définie sur un ouvert U de
R n dans R p , si
∂2 ∂
f et
∂xi∂xj
2
f, 1 ≤ i, j ≤ n,
∂xj∂xi
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