Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

100 Z. ABDELALI
existent et continues sur un voisinage de x alors elles sont égales.
si
Corollaire 6.5. Soit f une application définie sur un ouvert U de R n dans R p ,
∂ k
∂xi1 · · · ∂xik
f et
∂ k
∂xi σ(1) · · · ∂xσ(k)
où σ est une permutation de {1, · · · , k}, existent et continuent sur un voisinage
de x alors elles sont égales.
Démonstration. Toute permutation est une composition de transpositions de la formes
(i, i + 1).
4.2. Expression des différentielles d’ordre supérieure. Si f une application de classe
C k , k ≥ 1, sur un ouvert U de R n dans R p , alors la différentielle, D m f(x), d’ordre m, 1 ≤
m ≤ k, de f en un point quelconque x de U est une application n-linéaire symétrique de
R n × · · · × R n dans R p associant à un m-uple (h1, · · · , hm) l’élément D m f(x) · (h1, · · · , hm),
notée D m f(x) · h1 · · · hm, donnée par l’expression :
α1+···+αn=m
m!
α1! · · · αn!
∂ m f(x)
∂x α1
1 · · · ∂xαn n
f,
h α1
1 · · · h αn
n .
En effet, l’élément D m f(x) · h1 · · · hm n’est autre que la dérivée, d’ordre m, au point 0 de
l’application ϕ : t ↦→ f(x + th). Donc
ϕ 1 (t) =
ϕ 2 (t) =
n
i=1
n
hi
i=1
= 2
∂ f(x + th)hi
∂xi
i+j=2
n
j=1
h i 1 ·hj
2
i!·j!
· · · · · · · · ·
ϕ m (t) = m! ·
4.3. Formule de Taylor-Young.
∂
∂xj
∂ 2
∂ f(x + th)hj
∂xi
∂x i 1 ·∂xj
2
f(x + th)
m! ∂
α1!···αn!
α1+···+αn=m
mf(x+th) ∂x α1 1 ···∂xαn n
Théorème 6.6. Soit U un ouvert de R n et soit x ∈ U,
f : U −→ R p
h α1
1 · · · h αn
n .