Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

3)
D’où (
(
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
(2n ·n!) 2
(2n)!· √ 2n+1 )2 (2·2·4·4···2n·2n)
=
2
1
1·2·3···2n·(2n−1)·1·2·3···2n·(2n−1) 2n+1
(2n ·n!) 2
(2n)!· √ 2n+1 )2 = 2·2
1·3
=
2·2 4·4 2n·2n
· · · · 1·3 3·5 (2n−1)
4·4 2n·2n
· · · · 3·5 (2n−1)·(2n+1)
4) On a lim
n→∞ xn = x = 0, donc lim
n→∞
x2n
(xn)
D’où d’après 3) 1
x
2 = (2n)2n+ 1
2
(2n)!
= lim
n→∞
5) D’après 4) on a lim
n→∞
6) On a aussi (ne−1 ) n
n!
donc
n
(ne −1 ) n
n!
diverge.
(n!)2
e−2n
n
1
2n+2 2
x2n
(xn) 2 = x
e 2n =
2·2·4·4···2n·2n
2·2·4·4···2n·2n
π → , ainsi lim
2 n→∞
x2 = 1.
D’autre part
x
√
2n 2(2) (n!)
(2n)!
2
n 1
2
x2n
(xn) 2 = π
2 (√2) 2 , donc x = 1 √ .
2π
(ne −1 ) n√ 2πn
n!
= 1, ainsi n! (ne−1 ) n√2πn. √ 1 , donc les séries
2πn
et
n
(ne −1 ) n
n!
2
1
2n+1 .
(2 n ·n!) 2
(2n)!· √ 2n+1 = π
2 .
= (2n · n!) 2√2 (2n)! · √ √
2n + 1
√ .
2n + 1 n
n
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√ 1 sont de même nature,
2πn
Exercice 4. 1) L’application f : [1, ∞[→ IR; x ↦→ 1 est décroissante positive donc, d’après
x
le théorème de comparaison série-intégrale, la série
∞ k
1 1
dx −
x k
k=2
k−1
k=2
k−1
est une série convergente, c’est à dire que
n
k
1 1
( dx − ) =
x k
est convergente, d’où
n
k=1
converge vers une constante C.
2) Soient Sn = n (−1) k
k+1 et σn = n
k=0
S2n+1 = 2n+1
k=0
n
1
1
dx −
x
n
1
1
− ln(n) = 1 − ( dx −
k 1 x
(−1) k
k+1
= n
( 1
k=0
2k+1
k=0
1 . On a
k+1
n
= ( (−1)2k
k=0
2k+1
1 1
+ − 2 2k+2 2k+2 )
= ( 2n+1
n
1
1 ) − k+1 k+1
k=0
k=0
= σ2n+1 − σn.
n
k=2
n
k=2
1
k
1
k )
(−1)2k+1
+ 2k+1+1 ) = n 1 1
k=0 ( − 2k+1 2k+2 )
3) lim
n→∞ S2n+1 = σ2n−ln(2n)+ln(2)+ln(n)−σn → C+ln(2)−C = ln(2). La série harmonique
alternée est une série alternée (de terme général tend vers zéro), donc elle converge vers une
limite S, par suite S2n+1 converge aussi vers S, donc S = ln(2).