Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

92 Z. ABDELALI
Démonstration. 1) Supposons qu’il existe une application linéaire K vérifiant la même
formule. Alors l’application linéaire U = L − K = o(h). Donc
U(h)
lim
h→0 h
Pour tout x ∈ R n , non nul, on a pour t ∈]0, ∞[ :
U(x)
x
D’où U(x) = 0, ainsi U = 0 et L = K.
= 0.
U(tx)
= lim
t→0 tx
2) On a f(x+h)−f(x) = L(h)+o(h), donc lim f(x+h)−f(x) = lim L(h)+o(h) = 0.
h→0
h→0
Remarque 6.2. 1) Si f : U −→ F est différentiable sur l’ouvert U, l’espace L(E, F ) des
applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel normé de dimension finie, alors
• on peut définire l’application
= 0
df : U −→ L(E, F ); x ↦→ df(x).
Alors, si df est continue en un certain point x de U (resp. sur U) on dit que f est continument
différentiable au point x (resp. sur U) ;
• de même on peut définir les différentielles d’ordre supérieur (1, 2, ...). Si la k-ème
différentielle de f existe et continue on dit que f est de classe C k .
• si f est de classe C k , pour tout k ∈ N, on dit que f est de classe C ∞ .
2) Il est simple de voir que si f et g sont différentiables en un point x (resp. sur l’ouvert U)
alors λf + βg, où λ, β ∈ R, est différentiables en un point x (resp. sur l’ouvert U). De plus
d(λf + βg)(x) = λdf(x) + βdg(x).
Théorème 6.1. Soit U (resp. V ) un ouvert de E (resp. F ) et soit x ∈ U. Suppo-
sons que f : U −→ F est différentiable en x, f(x) ∈ V et g : V −→ G est différentiable
en f(x), où G est un espace vectoriel normé de dimension finie, alors g ◦ f est
différentiable en x et on a :
Démonstration. Posons
d(g ◦ f)(x) = dg(f(x)) ◦ df(x).
∆ = g ◦ f(x + h) − g ◦ f(x)