Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

• si α > 1, la série converge ( lim
n→∞
• si α < 1, la série diverge ( lim
n→∞
• si α = 1, x → 1
x ln(x)
∞
2
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
n α+1
2
nα (ln(n)) β = 0),
n α+1
2
nα (ln(n)) β = ∞),
est une fonction définie sur [2, ∞[ décroissante et positive de plus
∞
1
1
dx = dt (en posant t = ln(x)
x(ln(x)) β
2 tβ d’où l’integrale est convergente si, et seulement si β > 1, ainsi ∞
6.1. Séries absolument convergentes.
n=2
6. Série à termes réels ou complexes.
1
n(ln(n)) β .
Définition 2.4. Une série à termes réels ou complexes
un est dite absolument
n
convergente si la série
|un|, est convergente.
donc
n
Proposition 2.10. Une série absolument convergente est une série convergente.
Démonstration. On va appliquer le critère de Cauchy. La série
|un| est convergente
L’inégalité triangulaire donne
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀q ≥ p ≥ N,
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀q ≥ p ≥ N, |
q
|un| < ε.
n=p
q
un| < ε.
D’où la série
un vérifie le critère de Cauchy donc elle converge.
n
Remarque 2.4. Tous les résultats et les règles du paragraphe précédant s’étendent au cas
général mais en remplaçant ’convergente’ par ’absolument convergente’, les termes généraux
par leurs modules et ’divergente’ par ’ne converge pas absolument’.
Attention 2.2. L’équivalence des termes généraux de deux séries qui ne gardent pas un
signe constant, n’entraîne pas le fait que les deux séries sont de même nature. Cosidérons
les deux séries suivantes :
∞
n=0
(−1) n
√ n + 1 et
∞
n=0
n=p
(−1) n
√ n + 1 + (−1) n
n
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