Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
c) Il est clair que le rayon de convergence est +∞. Remarquons que un(x) = xg ′ n(−x), où
gn(x) = (−1)nxn ∞
. Donc h(x) = un(x) = xg (2n+1)!
n=1
′ (−x), où g est la fonction définie dans (b).
Exercice 5. 1) Pour |x| < √ 2,
∞
n=0
| 1
16 n
x8n+p 8n + p | ≤ √ 2 p ∞
( |x|8
n=0
16 )n
cette série converge car |x|8
16 < 1. D’où fp(x) converge sur ] − √ 2, √ 2[.
2) On a Rp ≥ √ 2 > 1.
3) Sur ] − Rp, Rp[,
f ′ p(x) =
∞
n=0
8n + p
16n x8n+p−1 8n + p =
∞ x8n+p−1 n=0
16 n
= xp−1
∞
n=0
x 8n
16 n = xp−1 ·
1
1 − x8
16
4) fp est une primitive de f ′ p sur [0, 1] qui s’annule au point zéro. Donc pour x ∈ [0, 1],
5) On a pour t ∈ [0, 1],
fp(x) =
x
4f ′ 1(t) − 2f ′ 4(t) − f ′ 5(1) − f ′ 6(t) =
= (t − 1)(t2 + 2)(t 2 + 2t + 2)
16 − t 8
=
1
8(t + √ 2) −
0
f ′ p(t)dt =
x
0
16tp−1 dt.
16 − t8 4 − 2t 3 − t 4 − t 5
(t 2 − 2)(t 2 + 2)(t 2 + 2t + 2)(t 2 − 2t + 2)
1
=
8(t + √ 2) +
−t + 2
4(t2 − 2t + 2) +
1
8(t − √ 2)
2t − 2
8(t 2 − 2t + 2) +
1
4(t 2 − 2t + 2) +
1
8(t − √ 2)
4f1(1)−2f4(1)−f5(1)−f6(1) = [ 1
8 ln(t+√2)− 1
8 ln(t2−2t+2)+ 1
1
arctan(t−1)+
4 8 ln(|t−√2|)] 1 0
= π
16
⇒ π = 16
∞ 4
(
8n + 1
n=0
2 1 1 1
− − − )
8n + 4 8n + 5 8n + 6 16n Exercice 6. • On a ln(1 + t) et (1 + t) −1 sont développables en séries entièrs sur ] − 1, 1[,
donc ln(1 + t)(1 + t) −1 est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et on a
ln(1 + t)
1 + t
∞ (−1)
= (
n+1
t
n
n ∞
)( (−1) n t n ∞ n (−1)
) = (
k+1
k
n=1
Pour t = 1, |( n
convergence.
k=1
n=0
n=1
k=1
(−1) n−k )t n =
n=1
79
∞ n (−1)
(
n+1
)t
k
n .
(−1) n+1
)1 k
n | = | n 1|
→ ∞ = 0. D’où ] − 1, 1[ est l’intervalle ouvert de
k
k=1
k=1