Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

84 Z. ABDELALI
Corollaire 5.1. Soit
fn une série de fonctions positives et continues par morceaux
n
sur I. Si de plus ∞
fn est Riemann-intégrable sur I, alors
n=0
∞
fn(x)dx =
I n=0
∞
n=0
I
fn(x)dx.
Théorème 5.2. (Convergence dominée) Soit (fn)n une suite de fonctions définie sur
un intervalle I, telle que :
1) pour tout n ∈ N, fn continue par morceaux sur un intervalle I,
2) (fn)n est dominée par une fonction g Riemann-intégrable sur I,
3) (fn)n converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur tout
ségment de I.
Alors
f(x)dx = lim
I
n→∞
fn(x)dx.
I
Corollaire 5.2. Soit
fn une série de fonctions continues par morceaux sur I telle
n
que la somme existe est continue par morceaux sur tout ségment de I. Supposons de plus que
( n
fk)n est dominée par une fonction g Riemann-intégrable sur I.
k=0
Alors
∞
∞
fn(x)dx = fn(x)dx.
I n=0
n=0
3. Série n o 5.
Exercice 1. Soient f la fonction 2π-périodique paire définie sur [0, π] par f(x) = sin(x).
1) Donner la série de Fourier de la fonction f.
2) Déduire une décomposition de sin, sur [0, π] en une série donnée par cos(nx).
3) En considérant l’intégrale x
sin(t)dt, x ∈ [0, π], déduire une décomposition de
0
cos(x) + 2 x, sur [0, π] en une série donnée par sin(nx) (Justifier la permutation intégrale-
π
somme).
Exercice 2. Soit f l’application 2π-périodique définie sur [−π, π[ par f(x) = x3 −π 2 x
12 .
1) Calculer les coefficients de Fourier de f.
2) i) Donner S(f) la série de Fourier de f,
ii) Montrer que f = S(f).
iii) Montrer sans calcul que S(f) converge uniformément vers f sur [−π, π].
I