Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
3. Série n o 3.
Exercice 1. Soit (E, · ) un espace normé. Soient A et B deux sous ensembles de E.
Montrer que
o
1) E \ A = E \ A et E \ A o
= E \ A.
o
2) A ∪ B = A ∪ B et A ∩ B = A o
∩ B o
.
Exercice 2. Soit (E, · ) un espace normé. Soient (r, s) ∈]0, ∞[ 2 et (a, b) ∈ E 2 . Montrer
que (ind. dans cette exercice on peut s’inspirer des positions relatives de deux disques dans le
plan).
1) B(a,r) est un ouvert et B f
2) B(a,r) = B f
(a,r) et
o
B f
(a,r)
(a,r)
= B(a,r).
est un fermé.
3) B(a,r) ∩ B(b,s) = ∅ ⇐⇒ a − b < r + s.
4) B(a,r) = B(b,s) ⇐⇒ (a, r) = (b, s).
Exercice 3. Soit M2(IR) l’espace des matrices carrées d’ordre 2, l’espace IR 2 est muni de
la norme infinie ⎛
· ∞.
1. Soit M =
⎝ a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
⎞
⎠, vérifier que ||M|| = sup{Mx∞ : x∞ ≤ 1} est une norme
sur M2(IR) et que ||M|| = max{|a1,1| + |a1,2|, |a2,1| + |a2,2|}.
2. Vérifier, de deux manières, que si M et N dans M2(IR), MN ≤ M · N.
Exercice 4. Soit (E, · ) un espace normé et soit d la distance associée à · . On rappel
que pour x ∈ E et A ⊆ E, on a d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}.
1) Montrer que : d(x, A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A.
2) Montrer que l’application fA : E −→ IR; x ↦→ d(x, A) est continue (ind. on montrera
qu’elle est lipschitzienne).
· .
Exercice 5. Soit (E, · ) un espace normé dimension finie et soit d la distance associée à
1) Montrer que si A est une partie fermée non vide de E et x ∈ E, alors il existe a ∈ A tel
que d(x, A) = d(x, a).
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