Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

86 Z. ABDELALI
Exercices facultatifs.
Exercice 1. Développer en série de Fourier la fonction f : R → R, impaire périodique de
période 2π, définie par : f(t) = 1 pour t ∈]0, π] ; les valeurs de f(0) et f(π) étant quelconques.
Calculer la somme de la série de f et déduire les sommes des séries :
∞ (−1) n
2n + 1 ;
∞ 1
(2n + 1) 2
n=1
n=1
Exercice 2. Développer en série de Fourier la fonction f : R → R, périodique de période
2π, définie par : f(t) = t 2 − 2π 2 pour t ∈] − π, π].
En déduire les sommes des séries :
∞
n=1
1
;
n2 ∞ (−1) n
n=1
Exercice 3. Développer en série de Fourier la fonction f : R → R, périodique de période
2π, définie par : f(t) = cos(αt) pour t ∈] − π, π] où α est un réel qui n’est pas un entier. En
déduire la relation suivante pour tout réel non multiple de π :
cotan(x) = 1
x +
∞ 2x
x2 − n2π2 n=1
Exercice 4. Soit C2π l’ensemble de fonctions f : R → C, continues périodiques de période
2π. Pour f et g dans C2π, soit f ∗ g la fonction définie sur R par :
f ∗ g(t) = 1
2π
π
1) a) Vérifier que f ∗ g est un élément de C2π.
b) Montrer que (C2π, +, ∗) est un anneau commutatif.
−π
n 2
f(u)g(t − u)du .
2) Pour f ∈ C2π, notons cn(f) le coefficion de Fourier de f associé à en : t → e int (n ∈ Z).
a) vérfier que en ∗ em = δn,men.
b) Montrer que pour f, g dans C2π, cn(f ∗ g) = cn(f)cn(g).
3) (Application) Proposer une méthode pour calculer
∞ ∞ 1 1
; .
n4 n8 n=1
n=1
Exercice 5. Pour x ∈ R on considère Γ(x) = ∞
0 e−t t x−1 dt.
1) Determiner le domaine de définition de Γ.
2) Montrer que Γ converge normalement sur tout compact de R + ∗ et déduire que Γ et continue
sur R + ∗ .
3) Pour x > 0 montrer que Γ(x + 1) = xΓ(x) et déduire Γ(n) pour n ∈ N ∗ .