Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
4. Série n o 4.
Exercice 1. Soit (Pn)n la suite de fonctions définie sur [0, 1] par :
P0 = 0, Pn+1(x) = Pn(x) + 1
2 (x − (Pn(x)) 2 )
1) Vérifier que (Pn)n est une suite de polynômes, majorée par √ x et croissante.
2) En déduire que cette suite converge simplement vers √ x.
3) Etablir, par récurrence, les inégalités :
0 ≤ √ x − Pn(x) ≤ 2√ x
2 + n √ x
Indication : Si l’inégalité est vraie pour n, vérifier que
1 − 1
2 (√ √
x + nx
x + Pn(x)) ≤ 1 −
2 + n √ x ≤ 2 + (n − 1)√x 2 + n √ .
x
Puis conclure l’inégalité pour n + 1 en remarquant que
(2 + (n − 1) √ x)(2 + (n + 1) √ x) ≤ (2 + n √ x) 2 − x ≤ (2 + n √ x) 2 .
4) En déduire que la suite (Pn)n converge uniformément vers √ x sur [0, 1].
Exercice 2. Pour x ∈ IR, on pose : g(x) = ∞ 1
n=1 ( n )2 exp(−nx2 ).
1) Montrer que g est partout définie et continue sur IR.
2) Montrer que g est de classe C 1 sur IR.
Exercice 3. Soit (λn)n≥1 une suite croissante de nombres réels strictement positifs et tendant
vers +∞. On pose pour x ∈ IR : f(x) = ∞
(−1) n exp(−λnx) (∗).
n=1
1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Montrer que (∗) converge uniformément sur tout intervalle [α, +∞[, où α ∈]0, +∞[.
3) En déduire que f est continue sur ]0, +∞[.
4) Montrer que l’intégrale +∞
f(x)dx est convergente.
0
5) A l’aide de ce qui précède montrer la relation suivante :
6) En déduire ∞ (−1)
n=1
n
n .
+∞
0
f(x)dx =
∞ (−1) n
n=1
λn
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