Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

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30 Z. ABDELALI les termes généraux de ces deux séries sont équivalents, mais la première série est convergente (voir le sous paragraphe sur les séries alternée) et la deuxième est divergenente. En effet, on a ∞ (−1) n √ n+1+(−1) n et S = ∞ n=0 n=0 ( (−1)n (−1) √ − n+1 n √ n+1+(−1) n ) sont de même natures. De plus (−1) n (−1) √ − n+1 n √ n+1+(−1) n Donc S est une série de terme général positif diverge, ainsi ∞ (−1) n √ n+1+(−1) n diverge. ∞ n=n0 où n=0 6.2. Séries produit. Définition 2.5. Soient ∞ un et ∞ n=n ′ o n=n0 vn est la série : un et ∞ wn = n=n ′ 0 = (−1)n√ n+1+1−(−1) n√ n+1 √ n+1( √ n+1+(−1) n ) = 1 √ n+1( √ n+1+(−1) n ) √ √ 1 n+1( n+1+(−1) n ≥ ) 1 n+1 pour n ≥ 2, d’où elle vn deux séries, la série produit <strong>des</strong> séries ∞ n=n0+n ′ 0 wn p+q=n p≥n0, q≥n ′ 0 upvq Remarque 2.5. 1) Dans la définition précédante si n0 = n ′ 0 = 0, alors wn = p+q=n upvq = unv0 + un−1v1 + · · · + u0vn = n un−kvk. k=0 2) La série produit de deux série est appelée aussi produit de Cauchy. Proposition 2.11. La série prduit gentes ∞ n=n0 un et ∞ n=n ′ 0 ∞ n=n0+n ′ 0 vn est absolument convergente et on a ∞ n=n0+n ′ 0 n=n0 wn de deux série absolument conver- ∞ ∞ wn = ( un) · ( vn) Démonstration. a) Cas où les deux séries ∞ pour tout entier m ≥ n0 + n ′ 0, ( m un) · ( n=n0 m vn) ≤ n=n ′ 0 2m n=n0+n ′ 0 n=n0 wn ≤ ( n=n ′ 0 un et ∞ 2m n=n0 n=n ′ 0 un) · ( vn sont à termes positifs, on a 2m n=n ′ 0 vn)
<strong>Cours</strong> d’Analys 4, SM3-SMI3 donc si les deux séries sont convergente alors la séries inégalités précédantes que Soit ∞ n=n0+n ′ 0 n=n0 ∞ n=n0+n ′ 0 ∞ ∞ wn = ( un) · ( vn). b) Cas général. Soit pour tout entier m ≥ n0 + n ′ 0, ∞ n=n0+n ′ 0 Donc d’après a), lim m→∞ | m n=n0+n ′ 0 wn − ( m n=n0 w ′ n la série produit de ∞ m
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