Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

74 Z. ABDELALI
6) En remarquant que (arcsin(x)) ′ = 1
√ 1−x 2 (resp. (arccos(x)) ′ = −1
√ 1−x 2 ), vérifier que sur
] − 1, 1[, on a
arcsin(x) =
∞
n=0
(2n)!
(n!) 2
3.4. Extension à C.
1) La série exp(z) = ∞
1
4n (2n + 1) x2n+1 et arccos(x) = π
2 −
n=0
z n
n!
exponentielle complexe. On a les propriétés :
• exp(z + z ′ ) = exp(z) exp(z ′ ).
• Pour θ ∈ R,
exp(iθ) =
∞
n=0
(iθ) n
n! =
∞
p=0
∞
n=0
(2n)!
(n!) 2
1
4 n (2n + 1) x2n+1
est bien définie sur C. Cette fonction sera appelée fonction
(iθ) 2p
(2p)! +
∞ (iθ)
p=0
2p+1
(2p + 1)! =
∞
p=0
(−1) p θ 2p
(2p)! +i
∞
p=0
(−1) p θ 2p+1
(2p + 1)!
= cos(θ)+i sin(θ).
• Pour tout z ∈ C ∗ , l’ensemble {u ∈ C : exp(u) = z} = {ln(|z|) + i(arg(z) + 2kπ) : k ∈ Z}.
D’autre part, pour tout z = x + iy ∈ C, | exp(z)| = | exp(x) exp(iy)| = exp(x) ∈ R ∗+ .
2) On peut définir les fonctions sin, cos, sinh, cosh complexes comme sommations des séries
entières sur C de rayon infinie :
cos(z) =
∞
n=0
(−1) nz2n , sin(z) =
(2n)!
∞
n=0
De plus on a les propriétés suivantes :
• cos(z) = exp(iz)+exp(−iz)
2
(−1) nz2n+1 , cosh(z) =
(2n + 1)!
∞
n=0
z2n et sinh(z) =
(2n)!
∞
n=0
z 2n+1
(2n + 1)!
, sin(z) = exp(iz)−exp(−iz)
, cos(z + z 2i
′ ) = cos(z) cos(z ′ ) − sin(z) sin(z ′ ),
sin(z + z ′ ) = cos(z) sin(z ′ ) + sin(z) cos(z ′ ) et cos 2 (z) + sin 2 (z) = 1.
• cosh(z) = exp(z)+exp(−z)
, sinh(z) = 2
exp(z)−exp(−z)
2
• sin(z) = sinh(iz) et i sin(z) = sinh(iz).
et cosh 2 (z) − sinh 2 (z) = 1.
• cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) + i sin(x) sinh(y) et sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) − i cos(x) sinh(y).
3) Les fonctions (1 + z) −1 , ln(1 + z), arctan(z) sont définie sur le disque unité ouvert de C
par des séries entières et on a :
• (1 + z) −1 = ∞
(−1) nzn , ln(1 + z) = ∞
(−1)
n=0
n=1
n+1 xn
n
, arctan(z) = ∞
n=0
n z2n+1 (−1) 2n+1 .
Exercices 4.3. 1) Etendre autres fonctions aux certains disques de C de centre zéro (par
exemple (1 + z) −α , α ∈ R ∗ ,...).
2) Vérifier les propriétés données dans les exemples précédants.