Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Exercice 4. Soit S(r, θ, ϕ) = (r cos(θ) sin(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(ϕ)), (r, θ, ϕ) ∈ U =
IR + ∗ ×] − π, π[×]0, π[.
1) Vérifier que S est de classe C ∞ .
2) Calculer la jacobienne et le jacobien de S en tout point U.
3) Vérifier que S(U) est un ouvert et que S est un C ∞ -difféomorphisme de U sur S(U).
Exercice 5. 1) Montrer que au voisinage de (0, 0), l’ensemble
Γ = {(x, y) ∈ IR 2 : arctan(xy) + 1 = e x+y }
admet une représentation de la forme y = ϕ(x), x ∈ I avec I un intervalle centré en 0 et ϕ est
de classe C 1 sur I.
2) Donner l’équations de la droite tangente à Γ au point (0, 0).
Exercice 6. 1) Montrer que au voisinage de (1, 1, 1), l’ensemble
Γ = {(x, y, z) ∈ IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 3, x 3 + 2xz − y = 2}
admet une représentation de la forme y = ϕ(x), z = ψ(x), x ∈ I avec I un intervalle centré en
1 et ϕ et ψ sont de classe C 1 sur I.
2) Donner les équations de la droite tangente à Γ au point (1, 1, 1).
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