Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
VI. Si E = R n muni de la norme ·2 dite norme euclidienne. On a 〈x, y〉 = x1y1+· · ·+xnyn
est un produit scalaire sur R n et
Pour tout x ∈ R n , l’application :
x2 = 〈x, x〉.
fx : R n −→ R, y ↦→ 〈x, y〉
est un élément de E ′ et on a E −→ E ′ ; x ↦→ fx est un isomorphisme isométrique (x2 = fx).
Ainsi E s’identifie à E ′ .
VII. Soient (E, · ) et (F, · ′ ) deux espaces normés.
1) L’espace E × F peut être muni des normes équivalentes suivantes :
• (x, y) ↦→ x + y ′
• (x, y) ↦→ max{x, y ′ }
• (x, y) ↦→ x 2 + y ′2 .
L’espace E × F est appelé espace normé produit de E et F .
2) Soit (G, · ′′ ) espace normé. Une application B : E×F −→ G, est dite bilinéaire si pour
tout x ∈ E (resp. y ∈ F ) l’application : E −→ G; y ↦→ B(x, y) (resp. F −→ G; x ↦→ B(x, y))
est linéaire.
3) L’application B est continue si et seulement si, il existe M > 0 tel que pour tout (x, y) ∈
E × F , on a B(x, y) ′′ ≤ Mx · y ′ .
on a
tous
En effet (nous vérifions seulement une implication). Pour (x, y) ∈ E ×F et (x0, y0) ∈ E ×F ,
B(x, y) − B(x0, y0) ′′ = B(x, y) − B(x, y0)
+B(x, y0) − B(x0, y0) ′′
≤ B(x, y − y0) ′′
+B(x − x0, y0) ′′
≤ x∞y − y0 ′ ∞M
+x − x0∞y0 ′ ∞M
4) De plus si E et F sont de dimension finie alors B est continue.
En effet, soient B = {e1, ..., en} (resp. B ′ = {f1, ..., fm}) est une base de E (resp. F ). Pour
x = x1 + · · · + xnen ∈ E et y = y1 + · · · + ymem ∈ F
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