Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

68 Z. ABDELALI
Proposition 4.13. Toute série entière S =
anxn possède un rayon de convergence
n
R ∈ R + ∪ {∞}, c’est à dire que R est l’unique élément de R + ∪ {∞}, qui vérifie :
∀x ∈ K, on a
⎧
⎨
⎩
si |x| > R, alors S(x) diverge
si |x| < R, alors S(x) converge absolument
Démonstration. • Remarquons d’abord que pour (x, y) ∈ K 2 , tel que |x| < |y|, si S(y)
converge, alors S(x) converge absolument. En effet, n |anx n | = n |any n | · |x|
|y| , on a |any n | → 0,
donc pour n assaz grand n |anyn | ≤ 1. Ainsi, n |anrn | · |x|
|y|
Cauchy
|anxn | converge.
n
• Posons
On a R existe dans R + ∪ {∞}, car l’ensemble
≤ |x|
|y|
R = sup{r ∈ R + : S(r) converge absolument}.
A = {r ∈ R + : S(r) converge absolument}
< 1. D’où d’après la règle de
et non vide puisque il contient zéro. De plus d’après la première partie de la preuve I est un
intervalle de la forme [0, R[ ou [0, R]. Donc pour tout x ∈ K, tel que |x| < R, S(|x|) converge
absolument, ainsi S(x) converge absolument. Si |x| > R, on a S(x) diverge car sinon, S( |x|+R
2 )
converge absolument, mais |x|+R
2
> R absurde. D’où R vérifie les conditions de la proposition.
Définition 4.6. 1) L’élément R de R + ∪ {+∞} donné dans la proposition précédante est
appelé rayon de convergence de S.
2) L’intervalle ] − R, R[ (resp. le disque {x ∈ K : |x| < R}) est dit l’intervalle (resp. le
disque) ouvert de convergence de la série.
Proposition 4.14. Soit S(x) =
anx
n
n une série entière. Alors on a :
n
1) Si lim |an| = l existe, alors le rayon de convergence de S est R =
n→∞
1 (avec les conven-
l
= 0).
tions 1
0 = +∞ et 1
+∞
|an+1|
2) Si pour n assez grand an = 0 et lim
n→∞ |an| = l existe dans R+ ∪ {+∞}, alors le rayon de
convergence de S est R = 1
l .
Démonstration. 1) Soit x ∈ K ∗ , lim
n→∞
n |anxn | = l · |x|, donc, d’après la règle de Cauchy,
la série S(x) converge absolument pour l · |x| < 1 et elle diverge pour l · |x| > 1. Ainsi R = 1
l .
2) Soit x ∈ K∗ |an+1x
, lim
n→∞
n+1 |
|anxn |
= l · |x|, donc, d’après la règle de d’Alembert, la série S(x)
converge absolument pour l · |x| < 1 et elle diverge pour l · |x| > 1. Ainsi R = 1
l
.