Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

72 Z. ABDELALI
3.2. Fonctions développables en séries entières.
Définition 4.7. Une fonctions f définie sur un intervalle ouvert contenant 0 est dite
développable en série entière au voisinage de 0 s’il existe un intervalle ] − r, r[, où r > 0,
et une série entière
anxn définie sur ] − r, r[ tels que f(x) =
anxn pour tout x ∈] − r, r[.
n
Dans ce cas on dit aussi que f est développable en série entière sur ] − r, r[.
Proposition 4.19. Si f est développable en série entière au voisinage de 0, alors cette série
est donnée par
n
f (n)
n! (0)xn
Remarque 4.7. 1) Une fonction qui est développable en série entière au voisinage de zéro
est de classe C ∞ . De plus sa série de Mac-Laurin est convergente.
2) Les conditions précédantes ne sont pas suffisantes pour dire que la fonction est
développable en série entière. Soit par exemple la fonction
⎧
⎨ exp(
f(x) =
⎩
1
x2 )
0
si
si
x = 0
x = 0
On a f est de classe C ∞ sur R ∗ , par récurrence on montre que f est indéfiniment dérivable au
point 0 et f (n) (0) = 0 pour tout entier n. D’où ∞
n=0
seulement au point 0 donc pour x ∈ R ∗ , f(x) = ∞
en série entière au voisinage de 0.
n=0
n
f (n)
n! (0)xn = 0, pour tout x, mais f s’annule
f (n)
n! (0)xn . Ainsi f n’est pas développable
Proposition 4.20. Soit f une fonction de classe C ∞ sur ] − R, R[, avec R > 0, pour que
f soit développable en série entière sur ] − R, R[, il suffit que pour tout r ∈]0, R[,
lim
n→∞ sup |f
x∈]−r,r[
(n) (x)| rn
n!
Démonstration. D’après la formule de Mac-Laurin pour tout x ∈]−R, R[, soit r ∈]|x|, R[,
il existe θ ∈]0, 1[ dépendant de x et n tel que
|f(x) −
n f (k) (x)xk k=0
k!
= 0.
| = | f (n+1) (θx)x (n+1)
| ≤ sup |f
(n + 1)!
x∈]−r,r[
(n+1) (x)| rn+1
(n + 1)!
−→ 0.
Définition 4.8. Soit U un ouvert de R, une fonction f : U → R (ou C) est dite analytique
sur U si pour tout x0 ∈ U, la fonction g(x) = f(x + x0) est développable en série entière au
voisinage de 0.