Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

28 Z. ABDELALI
Corollaire 2.4. (Règle de d’Alembert) Soit
un une série à termes positifs,
un+1
supposons de plus que lim un n→∞
1) Si λ < 1, la série
= λ, alors :
un converge.
n
2) Si λ > 1, la série
un diverge.
n
Démonstration. Exercice.
5. Comparaison série-integrale.
Soit f : [n0, ∞[ −→ R, où n0 ∈ N, une fonction décroissante et positive alors on a :
Théorème 2.1. La série ∞
De plus :
1) La série
n=n0
n
f(n) et l’integrale ∞
f(x)dx sont de même nature.
∞
n=n0+1
n
n−1
est une série à termes positifs convergente.
2) Si la série ∞
f(n) converge, alors :
n=n0
∞
n=n0+1
Démonstration. 1)
∞ n
n=n0+1
n−1
f(n) ≤
∞
n0
f(x)dx − f(n) ≤
Une telle limite existe car f est décroissante.
2) Exercice.
n0
f(x)dx − f(n)
f(x)dx ≤
∞
n=n0+1
= lim
n→∞ f(n0) − f(n)
∞
f(n).
n=n0
Exemples 2.2. Considérons la Série de Bertrand :
∞ 1
nα , (α, β) ∈ R2
(ln(n)) β
n=2
f(n − 1) − f(n)