Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

CHAPITRE 1
Notions sur la topologie de R
1. Rappel de quelques propriétés de R.
Proprieté 1.1. (Caractérisation de R) L’ensemble R possède les propriétés sui-
vantes :
1) (R, +, ., ≤) est un corps comutatif totalement ordonné,
2) R vérifie la propriété de la borne supérieure,
3) R est un corps archimédien.
Exercices 1.1. 1) Déduire de la propriété 1.1, que R vérifie la propriété de la borne
inférieure.
2) Montrer que si (un)n est une suite croissante majorée (resp. décroissante minorée), alors
elle est convergente et on a lim un = sup un (resp. lim un = inf
n→∞ n∈N
n→∞ n∈N un).
3) Vérifier que la suite (1/n)n∈N∗ converge vers 0.
Remarque 1.1. Pour tout x ∈ R on peut définir :
1) La valeur absolue |x| = max{−x, x}.
• L’existence de la valeur absolue découle de 1) propriété 1.1.
2) La partie entière [x] qui n’est autre que l’unique entier relatif vérifiant [x] ≤ x < [x] + 1.
• L’existence de la partie entière découle de 2) propriété 1.1, et le fait que N est bien-ordonné.
Définition 1.1. Un sous ensemble A de R est dit dense dans R si tout élément de
R est une limite d’une suite d’éléments de A.
ainsi
Proposition 1.1. Q dense dans R.
Démonstration. Soit x ∈ R, alors on a
[10 n · x]
10 n
x = lim
n→∞
≤ x < [10n · x] + 1
10n ,
[10n · x]
10n .
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