Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

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80 Z. ABDELALI • L’inetvalle ouvert de convergence est IR. e (xch(α)) xch(α) 1 ch(xsh(α)) = e 2 (exsh(α) + e−xsh(α) ) = 1 = 1 2 (exeα + exe−α) = 1 2 ∞ n=0 2 (exch(α)+xsh(α) + e xch(α)−xsh(α) ) (eα ) n +(e−α ) n x n! n = ∞ ch(nα) n! n=0 xn . • Pososns f(x) = arctan( 1+xtan(α)). On a f est dérivable sur ] − 1, 1[ et 1−x f ′ (x) = = i 2 2 sin(α) cos(α) ((1−x) cos(α)) 2 +((1+x) sin(α)) 2 = 2 sin(α) cos(α) (1−e i2α x)(1−e −i2α x) ∞ (e−i2α(n+1) − ei2α(n+1) )xn = ∞ sin(2α(n + 1))xn n=0 n=0 i e−i2α = ( 2 1−e−i2α ei2α − x 1−ei2αx ) On suppose que α ∈] − π π , [, on a f(0) = α, donc pour x ∈] − 1, 1[, qui est l’inetvalle ouvert 2 2 de convergence, D’où f(x) = α + ∞ n=1 sin(2nα) x n n . Exercice 7. 1) Calcul direct. 2) Supposons que h(x) = ∞ anxn est une série entière solution de (∗) sur ] − 1, 1[. On a n=0 h ′ (x) = ∞ nanxn−1 , h ′′ (x) = ∞ n(n − 1)anxn−2 = ∞ n=1 n=2 xh ′ (x) = ∞ nanxn , x2h ′′ = ∞ n(n − 1)anxn . n=1 2 = (1 − x 2 )h ′′ (x) − xh ′ (x) n=2 (n + 2)(n + 1)an+2x n=0 n , = 2a2 + (6a3 − a1)x + ∞ ((n + 2)(n + 1)an+2 − n(n − 1)an − nan)xn n=2 = 2a2 + (6a3 − a1)x + ∞ ((n + 2)(n + 1)an+2 − n n=2 2an)xn . Ainsi a2 = 1, 6a3 − a1 = 0, et pour n ≥ 2, (n + 2)(n + 1)an+2 − n 2 an = 0. Donc D’où h(x) = a0 + ∞ a2p+1 = (2p − 1)2 · · · 32 a1 = (2p + 1)! p=1 a2p = 22p−1 ((p − 1)!) 2 , p ≥ 1, (2p)! 2 2p−1 ((p−1)!) 2 (2p)! x 2p + a1 · ∞ ((2p)!) 2 (2p + 1)! · 2 2p · p! a1 = p=0 | lim p→∞ 22p+1 ((p)!) 2 (2(p+1))! x2(p+1) | | 22p−1 ((p−1)!) 2 x (2p)! 2p | = x2 | < 1 et lim p→∞ Donc d’après la règle de d’Alembert les deux séries ∞ convergent sur ] − 1, 1[, donc h converge sur ] − 1, 1[. (2p)! (2p + 1) · 2 2p · p! a1 . (2p)! (2p+1)·2 2p ·p! x2p+1 . De plus pour 0 = |x| < 1, on a (2p+2)! (2p+3)·22(p+1) ·(p+1)! x2p+3 | | (2p)! (2p+1)·22p ·p! x2p+1 | p=1 = x 2 < 1. 22p−1 ((p−1)!) 2 x (2p)! 2p et ∞ (2p)! (2p+1)·2 p=0 2p ·p! x2p+1
<strong>Cours</strong> d’Analys 4, SM3-SMI3 3) la fonction arcsin(x) est développable en série entière sur ] − 1, 1[, donc le produit f(x) = arcsin2 (x) est développable en série entière sur ]−1, 1[. De plus f est paire donc f(x) = ∞ b2px2p , b0 = f(0) = 0 donc f(x) = ∞ b2px2p . D’où d’àprès la question précédante on a b2p = a2p, p ≥ 1, p=1 ainsi sur ] − 1, 1[, arcsin 2 (x) = ∞ p=1 22p−1 ((p−1)!) 2 x (2p)! 2p . p=0 81
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