Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

36 Z. ABDELALI
Exercice 1.
• 0 ≤ 1+sin(n2 )
n 2 +1−sin(2n)
Série 2, Solution.
≤ 2
n 2 , la série converge;
• si a ≤ 0, lim e
n→∞ −(n2 +1) a
= 0, la série diverge, (terme général → 0),
si a > 0, lim n
n→∞ 2e−(n2 +1) a
• un =
= 0, la série converge, (Riemann);
(n!an ) 2
, a = 2,
(2n)!
un+1
un
= ((n+1)a)2
(2n+2)(2n+1)
• un = (na)n
n! , a = 1
e ,
= a(1 + 1
a2 → , la série converge ⇐⇒ a < 2, (d’Alembert);
4
un+1
un n )n → ae, la série converge ⇐⇒ a < 1
e
1 • n ln(n)(ln(ln(n))) a
, (d’Alembert);
comarable à I = ∞ 1
3 x ln(x)(ln(ln(x))) a dx, posons t = ln(x),
on a I = ∞ 1
ln(3) ta dt, la série converge ⇐⇒ a > 1, (série-intégrale);
• arccos( na
1+na ), l’équivalence au voisinage de 1, arccos(y) 2(1 − y),
entraîne arccos( na
1+na
) 2 1
1+na √ 2
n a 2 ,
la série converge ⇐⇒ a > 2;
Exercice 2. Si |a| ≥ 1, la série diverge, car le terme général ne tend pas vers zéro.
si a ∈] − 1, 1[, la série ∞
an est absolument convergente, donc la série produit ( ∞
an ) 2 est
n=0
absolument convergente, et on a
∞
(n + 1)a n ∞ n
= ( a n−k a k ∞
) = (
n=0
n=0
k=0
n=0
a n ) 2 = ( 1
1 − a )2 ,
donc la la série produit ( ∞
an )( ∞
(n + 1)an ) est absolument convergente, et on a
∞
n=0
n=0
(n + 2)(n + 1)
a
2
n =
n=0
n=0
k=0
n=0
∞ n
( a n−k (k + 1)a k ) = 1 1
(
1 − a 1 − a )2 = ( 1
1 − a )3 .
Exercice 3. 1) xn+1
xn = (n+1)n+1+ 1 2
n n+ 1 2 (n+1) e−1 = (1 + 1 1
)n+ 2 e n −1 . Donc
) = −1 + (n + 1
2
un = ln( xn+1
xn
= −1 + 1 − n 1
2n2 + nO( 1
) ln(1 + 1
n
n3 ) + 1
2
1
n
1 1 1
) = −1 + (n + )( − 2 n 2n2 + O( 1
n3 ))
1 1 − 2 2n2 + 1
2
O( 1
n 3 ) = O( 1
n 2 ).
2) De 1) la série
un converge, donc
(ln(xn+1) − ln(xn)) converge d’où (ln(xn))n conver-
n
gever une limite s, ainsi (xn)n converge vers une limite x = e s > 0.
n