Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

102 Z. ABDELALI
Démonstration. Soit {e1, · · · , en} la base canonique de R n . Le point 0 est un extremum
local des fonctions ϕi : t ↦→ f(a + tei), ainsi ϕ ′ i(0) = 0 1 ≤ i ≤ n. D’où les dérivées partielles de
f au point a sont toutes nulles, donc df(a) = 0.
Voici une condition suffisante.
Proposition 6.7. Considérons une fonction f de classe C k , k ≥ 2, définie d’un
ouvert U de R n dans R. Soit a ∈ U, si pour tout vecteur non nul h de R n , on a
d 2 f(a) · h · h est strictement positif (resp. strictement négatif), alors f presente au
point a un minimum local (resp. maximum local).
Démonstration. Découle du fait que pour h assez petit f(a + h) − f(a) et d 2 f(a) · h · h
sont de même signe, car
f(a + h) − f(a) = df(a) · h + 1
2 d2 f(a) · h · h
+h 2 ε(h)
= 1
2 d2 f(a) · h · h + h 2 ε(h).
6. Série n o 6.
Exercice 1. Soient U =]0, ∞[×] − π, π[, V = IR 2 \] − ∞, 0] × {0}, P : U −→ V ; (r, θ) ↦→
(r cos(θ), r sin(θ)) et C : V −→ U; (x, y) ↦→ ( x 2 + y 2 , 2 arctan(
1) Vérifier que S et P sont de classe C 1 .
2) Calculer P ◦ S et S ◦ P .
√y x+ x2 +y2 )).
3) Calculer la jacobienne et le jacobien de P en tout point x de U.
4) Calculer de deux manières la jacobienne et le jacobien de S en tout point y = f(x) de V .
Exercice 2. Soient U = {(x, y) ∈ IR 2 : x 2 − y 2 > 0} et f : U −→ IR une application de
classe C 2 telle que : (∗) ∂2 f
∂x 2 (x, y) − ∂2 f
∂y 2 (x, y) =
√x
1
2−y2 .
1) Soit ϕ : IR 2 −→ IR 2 ; (x, y) ↦→ (x + y, x − y). Montrer que ϕ est un C ∞ -difféomorphisme.
2) Soit V = ϕ(U), est g : V −→ IR définie par g◦ϕ = f, calculer ∂2 f
∂x 2 (x, y)− ∂2 f
∂y 2 (x, y) en fonc-
tion des dérivées partielles de g (ind. utiliser la règle de lma chaine). Déduire les solutions de (∗).
Exercice 3. Soit f : IR 3 −→ IR; x ↦→ x2. Montrer que f est différentiable en tout point
x = 0 est df(x) · h = 〈 x , h〉.
x2