Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

62 Z. ABDELALI
1.3. Convergence uniforme, dérivée et intégrale.
Proposition 4.5. Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur un ségment [a, b], sup-
posons de plus que (fn)n converge uniformément vers f. Alors f est continue sur [a, b]
et
b
b
f(x)dx = lim
a n→∞ a fn(x)dx.
Démonstration. | b
a f(x)− b
a fn(x)dx| ≤ b
a |f(x)−fn(x)|dx ≤ b
a sup |f(t)−fn(t)|dx =
t∈[a,b]
(b − a) sup |f(t) − fn(t)|.
t∈[a,b]
Exemples 4.2. (la convergence uniforme ne transporte pas la dérivée) Pour tout
n ∈ N∗
, soit fn(x) = x2 + 1 . On a n
|fn(x) − |x|| = |
= 1
n ·
x 2 + 1
n − √ x 2 |
√ 1
x2 1
+ n +√ ≤ √1 .
x2 n
Ainsi la suite (fn)n converge uniformément vers f : x ↦→ |x| et pour tout n ∈ N ∗ , fn est
dérivable (elle est de classe C ∞ ), mais f n’est pas dérivable au point 0.
Théorème 4.2. Soit (fn)n une suite de fonctions définies sur un intervalle borné I de
longueur l, telle que :
1) pour tout n ∈ N, fn est dérivable sur I,
2) la suite de fonctions (f ′ n)n converge uniformément vers une fonction g sur I,
3) il existe c ∈ I tel que (fn(c))n converge.
Alors (fn)n converge uniformément vers une fonction f dérivable sur I et on a f ′ = g.
c’est à dire que
lim
n→∞ f ′ n = ( lim fn)
n→∞ ′
Démonstration. • Nous utiliserons le théorème des accroissement finies. On a pour
tout x ∈ I :
Donc pour tout x ∈ I, on a
|(fn+p(x) − fn(x)) −(fn+p(c) − fn(c))|
≤ |x − c| · sup |f
t∈I
′ n+p(t) − f ′ n(t)|
≤ l · sup |f
t∈I
′ n+p(t) − f ′ n(t)|.
|fn+p(x) − fn(x)| ≤ l · sup
t∈I
|f ′ n+p(t) − f ′ n(t)|
+|fn+p(c) − fn(c)|.