Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

40 Z. ABDELALI
par suite x + y2 ≤ x2 + y2.
II) Sur l’espace C([a, b]) des fonctions continues sur l’intervalle [a, b] où a < b, on peut
définir les trois normes suivantes :
• f∞ = max |f(x)| norme de la convergence uniforme
x∈[a,b]
• f1 = b
a |f(x)|dx
• f2 = ( b
a |f(x)|2 dx) 1
2
La seule propriété qui n’est pas évidente est l’inégalité triangulaire pour ·2. Cette propriété
découle de l’inégalité de Cauchy-Schwartz | b
a f(x)g(x)dx| ≤ ( b
a |f(x)|2dx) 1
2 ( b
a |g(x)|2dx) 1
2
III) Sur l’espace R[X] des polynômes à coefficients réels, on peut définir les trois normes
suivantes (pour P = a0 + a1X + · · · + anX n ) :
• P ∞ = max{|a1|, |a2|, ..., |an|}
• P 1 = |a0| + |a1| + · · · + |an|
• P 2 = |a0| 2 + |a1| 2 + · · · + |an| 2
Exercices 3.1. Soient a et b deux point différents d’un espace normé (E, · ), soit pour
tout t ∈ R,
xt = a +
1) Donner xt, pour t = 0 et pour t = b − a.
2) Vérifier que xt − xs = |t − s|.
t
(b − a)
b − a
3) Supposons r ≤ s ≤ t, comparer xt − xr et xt − xs + xs − xr.
4) Comparer suivant les valeurs de t ∈ R,
b − a, xt − a, xt − b.
1.2. Suites et limites. Soit (E, ) un espace vectoriel normé. Une suite d’élément de
E est une application u : N −→ E, cette application sera notée u = (un)n∈N ou (un)n.
Définition 3.2. Une suite u d’éléments d’un espace vectoriel normé (E, ) est
convergente vers un élément l ∈ E, si la suite réelle (un − l)n converge vers zéro.
Proposition 3.1. (Unicité de la limite) La limite d’une suite dans un espace
normé est unique.