Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

On a
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
an+1 −an = v2n+2 − v2n+3 ≥ 0,
bn+1 −bn = −v2n+1 + v2n+2 ≤ 0,
bn −an = v2n+1 −→ 0 + .
Donc les deux suites (an)n et (bn)n converge vers une même limite qui n’est autre que la somme
S de la série
(−1) nvn. Par suite S2n+1 ≤ S ≤ S2n.
n
Il reste à montrer 1). On a pour tout entier n :
Exemples 2.4. Les séries
|R2n| = lim
m→∞ |S2m+1 − S2n| = lim
m→∞ S2n − S2m+1
≤ S2n − S2n+1 = v2n+1
≤ v2n+1.
|R2n+1| = lim
m→∞ |S2m − S2n+1|
= lim
m→∞ S2m − S2n+1
≤ S2n+2 − S2n+1 = v2n+2.
sont des séries alternée donc elle convergent.
n
cos(nπ) (−1)
,
n + 1
n
n ln(n + 1)
√
n + 1
7. Série n o 2.
Exercice 1. Déterminer la nature des séries (a ∈ IR) :
n
n
1 + sin(n 2 )
n 2 + 1 − sin(2n)
;
1
;
n ln(n)(ln(ln(n))) a
n
Exercice 2. Déterminer la nature de ∞
n
e −(n2 +1) a
;
(n!a n ) 2
(2n)!
n=0
n
(na) n
n!
, 0 ≤ a = 2;
n
, 0 ≤ a = 1
e ;
arccos( na
).
1 + na (n+2)(n+1)
a 2
n , a ∈ IR, et calculer sa somme dans le
cas où elle existe (Ind. donner l’expression de la série produit ( ∞
an ) · ( ∞
an ) 2 ).
Exercice 3. (Formule de Stirling). On considère la suite :
xn =
1) Montrer que un = O( 1
n 2 ).
nn+ 1
2
n=0
n! e−n et on pose un = ln( xn+1
)
xn
n=0
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