Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Démonstration. On a pour tout entier k,
f (k) (0) = (0+k) · · · (0+1)a0+k+(1+k) · · · (1+1)a1+k0 1 +· · ·+(n+k) · · · (n+1)an+k0 n +· · · = k!·ak.
Remarque 4.6. (Définition et notation) Soit f(x) =
anxn une série entière de rayon
de convergence Rf > 0, alors
(n + k) · · · (n + 1)an+kx n
n
est une série entière sur C de rayon Rf. Une telle série sera appelée dérivée d’ordre k de f
est elle sera notée f (k) .
Exercices 4.2. Une fonction définie sur un ouvert, non vide, U de C est dite holomorphe
sur U, si pour tout z0 ∈ U, la limite
f(z) − f(z0)
lim
z→z0 z − z0
existe. Cette limite sera notée f ′ (z0). Soit f(x) =
anxn une série entière de rayon de conver-
gence Rf > 0 et soit f 1 sa série dérivée définie dans la remarque précédante. Montrer que pour
tout z0 ∈ {z ∈ C : |z| < Rf},
Solution. On a f(z) − f(z0) = ∞
z0)un(z), où un(z) = n−1
k=0
zkz n−1−k
0 . Donc
n
f(z) − f(z0)
lim
z→z0 z − z0
= f 1 (z0).
n
(anz
n=1
n − anzn 0 ). Remarquons que anzn − anzn 0 = an(z −
f(z) − f(z0)
z − z0
Soit r ∈]|z0|, Rf[. Pour tous |z| < r et n ≥ 1, on a
=
∞
anun(z)
n=1
n−1
|anun(z)| ≤ |an| · r k r n−1−k = |an|nr n−1 .
k=0
La série ∞
|an|nrn−1 converge, car sur R, f 1 et de rayon Rf donc elle converge absolument
n=1
sur [0, Rf[. D’où la série de fonctions f(z)−f(z0)
converge normalement, donc uniformément, sur
z−z0
{z ∈ C : |z| < r} \ {z0}. D’après la proposition (double limite)
f(z) − f(z0)
lim
z→z0 z − z0
=
∞
lim anun(z) =
z→z0
n=1
∞
anun(z0) =
n=1
∞
n=1
annz n−1
0
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